Questões 27 a 32:
Encontre os limites quando x \rightarrow \infty
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}+a x}-\sqrt{x^{2}+b x}\right)

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (lista clara):
  • Está dada a expressão \sqrt{x^{2}+a x}-\sqrt{x^{2}+b x}.
  • As letras a e b são constantes (números reais).
  • Pede-se o limite quando x \rightarrow \infty:
\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^{2}+a x}-\sqrt{x^{2}+b x}\right).

Passo 2

Observação sobre o tipo de indeterminação e estratégia:
  • Para x\to\infty cada uma das raízes cresce como x, então a diferença é do tipo \infty-\infty, uma indeterminação clássica.
  • Método prático e seguro para esse caso: multiplicar pela conjugada para transformar a diferença em uma razão que simplifica bem. Vou aplicar isso agora.

Passo 3

Multiplicando pela conjugada:
\sqrt{x^{2}+a x}-\sqrt{x^{2}+b x} = \frac{\big(\sqrt{x^{2}+a x}-\sqrt{x^{2}+b x}\big)\big(\sqrt{x^{2}+a x}+\sqrt{x^{2}+b x}\big)}{\sqrt{x^{2}+a x}+\sqrt{x^{2}+b x}}.
O numerador é uma diferença de quadrados, portanto
\sqrt{x^{2}+a x}-\sqrt{x^{2}+b x} = \frac{(x^{2}+a x)-(x^{2}+b x)}{\sqrt{x^{2}+a x}+\sqrt{x^{2}+b x}}.
Simplificando o numerador:
(x^{2}+a x)-(x^{2}+b x)=(a-b)x.
Logo
\sqrt{x^{2}+a x}-\sqrt{x^{2}+b x} = \frac{(a-b)x}{\sqrt{x^{2}+a x}+\sqrt{x^{2}+b x}}.

Passo 4

Fatorando x nas raízes para expor o comportamento quando x\to\infty:
Para x>0 vale \sqrt{x^{2}+c x}=x\sqrt{1+\dfrac{c}{x}}. Assim,
\sqrt{x^{2}+a x}+\sqrt{x^{2}+b x} = x\Big(\sqrt{1+\tfrac{a}{x}}+\sqrt{1+\tfrac{b}{x}}\Big).
Substituindo na expressão obtida:
\sqrt{x^{2}+a x}-\sqrt{x^{2}+b x} = \frac{(a-b)x}{x\Big(\sqrt{1+\tfrac{a}{x}}+\sqrt{1+\tfrac{b}{x}}\Big)} = \frac{a-b}{\sqrt{1+\tfrac{a}{x}}+\sqrt{1+\tfrac{b}{x}}}.

Passo 5

Tomando o limite x\to\infty:
  • Quando x\to\infty temos \dfrac{a}{x}\to 0 e \dfrac{b}{x}\to 0.
  • A função \sqrt{1+t} é contínua em t=0, logo \sqrt{1+\tfrac{a}{x}}\to 1 e \sqrt{1+\tfrac{b}{x}}\to 1.
    Portanto a soma do denominador tende a 1+1=2. Concluímos que
\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^{2}+a x}-\sqrt{x^{2}+b x}\right) = \frac{a-b}{2}.

Passo 6

Comentários finais e casos particulares (dicas para a prova):
  • Se a=b o resultado dá 0, faz sentido porque as duas raízes são iguais para todo x.
  • A técnica usada (multiplicar pela conjugada e fatorar x) é a mais direta e rápida em prova, evita desenvolver séries.
  • Intuição pela expansão assintótica: \sqrt{x^{2}+c x}=x+\dfrac{c}{2}+o(1), então a diferença tende a \dfrac{a}{2}-\dfrac{b}{2}=\dfrac{a-b}{2}, coerente com o cálculo rigoroso acima.
  • Lembre-se de que isso é para x\to+\infty; se pedissem x\to-\infty a fatoração precisaria tratar o sinal de x (não usar diretamente x\sqrt{1+\cdot} sem cuidado).

Resposta

\dfrac{a-b}{2}

Exercícios relacionados