Questões 27 a 32:
Encontre os limites quando x \rightarrow \infty
Encontre os limites quando x \rightarrow \infty
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (lista clara):
- Está dada a expressão
. - As letras
e são constantes (números reais). - Pede-se o limite quando
:
Passo 2
Observação sobre o tipo de indeterminação e estratégia:
- Para
cada uma das raízes cresce como , então a diferença é do tipo , uma indeterminação clássica. - Método prático e seguro para esse caso: multiplicar pela conjugada para transformar a diferença em uma razão que simplifica bem. Vou aplicar isso agora.
Passo 3
Multiplicando pela conjugada:
O numerador é uma diferença de quadrados, portanto
Simplificando o numerador:
Logo
Passo 4
Fatorando
nas raízes para expor o comportamento quando
:
Para vale
. Assim,
Para
Substituindo na expressão obtida:
Passo 5
Tomando o limite
:
- Quando
temos e . - A função
é contínua em , logo e .
Portanto a soma do denominador tende a. Concluímos que
Passo 6
Comentários finais e casos particulares (dicas para a prova):
- Se
o resultado dá , faz sentido porque as duas raízes são iguais para todo . - A técnica usada (multiplicar pela conjugada e fatorar
) é a mais direta e rápida em prova, evita desenvolver séries. - Intuição pela expansão assintótica:
, então a diferença tende a , coerente com o cálculo rigoroso acima. - Lembre-se de que isso é para
; se pedissem a fatoração precisaria tratar o sinal de (não usar diretamente sem cuidado).