Passo 1
O problema pede calcular o limite
Informações que o enunciado nos dá:
- A expressão do numerador é
. - O denominador é
. - Quando
o numerador tende a e o denominador tende a . Portanto temos uma forma indeterminada do tipo .
Passo 2
Fazer uma substituição simples para centralizar a indeterminação em
. Defina
. Então
quando
e
. Reescrever a expressão em termos de
:
Calcule o numerador usando a identidade de soma de ângulos. Lembrando que
então, com
e
,
Como
e
, isso dá
O denominador é
. Portanto a razão fica
Passo 3
Reescrevemos a expressão de forma conveniente para aplicar o limite conhecido de seno pequeno. Factorize
:
Agora precisamos usar um resultado padrão de limites:
. Vou explicar rapidamente por que isso vale (prova clássica por desigualdade geométrica / teorema do confronto):
Para
vale a desigualdade conhecida
Como
, a desigualdade acima é
Dividindo por
obtemos
Invertendo (todas as quantidades positivas) dá
Quando
temos
, então por compressão (squeeze theorem)
Para limites bilaterais isso também vale por simetria, pois
.
Passo 4
Aplicar o resultado do Passo 3 com
. Como
implica
, temos
Então, pela fatoração do Passo 3,
Portanto o limite original vale
.
Passo 5
Verificação alternativa (opcional): poderia-se também usar a regra de L’Hôpital, já que temos forma
. Derivando numerador e denominador em relação a
:
Pela regra de L’Hôpital,
confirmação do resultado anterior.