\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\cos (\pi / 2 x)}{1-x}

Passo 1

O problema pede calcular o limite
\lim_{x\to 1}\frac{\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}x\right)}{1-x}.
Informações que o enunciado nos dá:
  • A expressão do numerador é \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}x\right).
  • O denominador é 1-x.
  • Quando x\to 1 o numerador tende a \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0 e o denominador tende a 0. Portanto temos uma forma indeterminada do tipo 0/0.

Passo 2

Fazer uma substituição simples para centralizar a indeterminação em 0. Defina u=x-1. Então u\to 0 quando x\to 1 e x=1+u. Reescrever a expressão em termos de u:
\frac{\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}x\right)}{1-x} = \frac{\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}(1+u)\right)}{1-(1+u)}.
Calcule o numerador usando a identidade de soma de ângulos. Lembrando que
\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b,
então, com a=\tfrac{\pi}{2} e b=\tfrac{\pi}{2}u,
\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}(1+u)\right)=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{\pi}{2}u\right) = \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}u\right)-\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}u\right).
Como \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0 e \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1, isso dá
\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}(1+u)\right) = -\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}u\right).
O denominador é 1-(1+u)=-u. Portanto a razão fica
\frac{\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}x\right)}{1-x} = \frac{-\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}u\right)}{-u} = \frac{\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}u\right)}{u}.

Passo 3

Reescrevemos a expressão de forma conveniente para aplicar o limite conhecido de seno pequeno. Factorize \tfrac{\pi}{2}:
\frac{\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}u\right)}{u} = \frac{\pi}{2}\cdot\frac{\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}u\right)}{\tfrac{\pi}{2}u}.
Agora precisamos usar um resultado padrão de limites: \displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1. Vou explicar rapidamente por que isso vale (prova clássica por desigualdade geométrica / teorema do confronto):
Para 0<t<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade conhecida
\sin t < t < \tan t.
Como \tan t=\dfrac{\sin t}{\cos t}, a desigualdade acima é
\sin t < t < \frac{\sin t}{\cos t}.
Dividindo por \sin t>0 obtemos
1 < \frac{t}{\sin t} < \frac{1}{\cos t}.
Invertendo (todas as quantidades positivas) dá
\cos t < \frac{\sin t}{t} < 1.
Quando t\to 0 temos \cos t\to 1, então por compressão (squeeze theorem)
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Para limites bilaterais isso também vale por simetria, pois \dfrac{\sin(-t)}{-t}=\dfrac{\sin t}{t}.

Passo 4

Aplicar o resultado do Passo 3 com t=\tfrac{\pi}{2}u. Como u\to 0 implica t\to 0, temos
\lim_{u\to 0}\frac{\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}u\right)}{\tfrac{\pi}{2}u}=1.
Então, pela fatoração do Passo 3,
\lim_{u\to 0}\frac{\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}u\right)}{u} = \frac{\pi}{2}\cdot 1 = \frac{\pi}{2}.
Portanto o limite original vale \dfrac{\pi}{2}.

Passo 5

Verificação alternativa (opcional): poderia-se também usar a regra de L’Hôpital, já que temos forma 0/0. Derivando numerador e denominador em relação a x:
\frac{d}{dx}\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}x\right) = -\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}x\right)\cdot \tfrac{\pi}{2}, \qquad \frac{d}{dx}(1-x)=-1.
Pela regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to 1}\frac{\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}x\right)}{1-x} = \lim_{x\to 1}\frac{-\tfrac{\pi}{2}\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}x\right)}{-1} = \frac{\pi}{2}\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2},
confirmação do resultado anterior.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

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