Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando
tende a
da função
Informações dadas:
- A variável da aproximação é
e a direção é . - A expressão envolve as funções trigonométricas
e .
O que queremos: o valor numérico do limite
Passo 2
Fatorar o numerador usando a identidade de diferença de cubos. Para qualquer
vale
Aqui tomamos
. Aplicando a identidade obtemos
Passo 3
Substituindo a fatoração na expressão do limite, reescrevemos a função como produto:
Assim o limite é produto de dois limites (se existirem):
Passo 4
Calcular o segundo limite, que é simples por continuidade da função
. Como
quando
, segue que
Passo 5
Calcular o primeiro limite
.
Usamos a identidade trigonométrica
Usamos a identidade trigonométrica
Substituindo e transformando a razão:
Agora usamos a identidade
, então
Substituindo na razão obtemos cancelamento de
:
Agora basta tomar o limite quando
. Como
quando
, vem
Passo 6
Combinar os dois limites encontrados:
Passo 7
Observação didática (método alternativo curto): usando séries de Taylor para reforçar a intuição,
logo
e o numerador é
. Como
, a razão tende a
, confirmando o resultado.