\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos ^{3} x}{\operatorname{sen}^{2} x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x tende a 0 da função
\frac{1-\cos^{3}x}{\operatorname{sen}^{2}x}.
Informações dadas:
  • A variável da aproximação é x e a direção é x \to 0.
  • A expressão envolve as funções trigonométricas \cos x e \operatorname{sen}x.
    O que queremos: o valor numérico do limite
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos^{3}x}{\operatorname{sen}^{2}x}.

Passo 2

Fatorar o numerador usando a identidade de diferença de cubos. Para qualquer a vale
1-a^{3}=(1-a)(1+a+a^{2}).
Aqui tomamos a=\cos x. Aplicando a identidade obtemos
1-\cos^{3}x=(1-\cos x)\bigl(1+\cos x+\cos^{2}x\bigr).

Passo 3

Substituindo a fatoração na expressão do limite, reescrevemos a função como produto:
\frac{1-\cos^{3}x}{\operatorname{sen}^{2}x} = \frac{1-\cos x}{\operatorname{sen}^{2}x}\cdot\bigl(1+\cos x+\cos^{2}x\bigr).
Assim o limite é produto de dois limites (se existirem):
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos^{3}x}{\operatorname{sen}^{2}x} = \left(\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{\operatorname{sen}^{2}x}\right) \cdot \left(\lim_{x\to 0}\bigl(1+\cos x+\cos^{2}x\bigr)\right).

Passo 4

Calcular o segundo limite, que é simples por continuidade da função \cos. Como \cos x\to 1 quando x\to 0, segue que
\lim_{x\to 0}\bigl(1+\cos x+\cos^{2}x\bigr)=1+1+1=3.

Passo 5

Calcular o primeiro limite \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{\operatorname{sen}^{2}x}.
Usamos a identidade trigonométrica
1-\cos x = 2\sin^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right).
Substituindo e transformando a razão:
\frac{1-\cos x}{\operatorname{sen}^{2}x} = \frac{2\sin^{2}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\sin^{2}x}.
Agora usamos a identidade \sin x = 2\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right), então
\sin^{2}x = 4\sin^{2}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\cos^{2}\!\left(\dfrac{x}{2}\right).
Substituindo na razão obtemos cancelamento de \sin^{2}\!\left(\dfrac{x}{2}\right):
\frac{1-\cos x}{\operatorname{sen}^{2}x} = \frac{2\sin^{2}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{4\sin^{2}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\cos^{2}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)} = \frac{1}{2\cos^{2}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}.
Agora basta tomar o limite quando x\to 0. Como \cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\to 1 quando x\to 0, vem
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{\operatorname{sen}^{2}x} = \frac{1}{2}.

Passo 6

Combinar os dois limites encontrados:
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos^{3}x}{\operatorname{sen}^{2}x} = \left(\frac{1}{2}\right)\cdot 3 = \frac{3}{2}.

Passo 7

Observação didática (método alternativo curto): usando séries de Taylor para reforçar a intuição,
\cos x = 1-\frac{x^{2}}{2}+O(x^{4})
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\cos^{3}x = 1-\frac{3x^{2}}{2}+O(x^{4}),
e o numerador é \displaystyle 1-\cos^{3}x=\frac{3x^{2}}{2}+O(x^{4}). Como \operatorname{sen}^{2}x=x^{2}+O(x^{4}), a razão tende a \dfrac{3/2}{1}=\dfrac{3}{2}, confirmando o resultado.

Resposta

\dfrac{3}{2}

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