Passo 1
O que o enunciado pede e o que já temos disponível:
- Pede o valor de
. - A expressão enviada é
- Observação imediata: ao substituir
temos e , então a forma é , isto é, uma indeterminação. Precisa de um procedimento para eliminar essa indeterminação e calcular o limite.
Passo 2
Escolha do método e estratégia:
- Vou usar séries de Maclaurin (expansões para pequenos
) até a ordem suficiente para ver o comportamento dominante do numerador e do denominador. Justificativa: para limites quando é muito prático desenvolver e em potências de e comparar as ordens principais — isso costuma ser mais rápido e menos sujeito a erro do que fazer muitas derivações com l’Hôpital. - Vou também mostrar, ao final, uma alternativa por l’Hôpital para confirmar o resultado (se quiser só conferir rápido na prova, dá pra usar l’Hôpital).
Passo 3
Expansão em série (Maclaurin) de
:
- A série de Maclaurin de
é obtida pelas derivadas em . As primeiras derivadas em são:
, , , . - Assim, a expansão até a ordem
é
onde
indica termos de ordem
ou maior quando
.
Passo 4
Expansão em série de
usando
:
- Primeiro escrevo a série de
até a ordem necessária:
- Agora procuro uma expansão para
da forma
- Multiplicando por
deve dar :
- Igualando com
obtemos os coeficientes: - Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: ⇒ .
- Coeficiente de
- Portanto
Passo 5
Calcular o numerador
usando as séries:
- Subtraindo as duas expansões:
- Simplificando os coeficientes:
- Logo
Passo 6
Calcular o denominador
usando a série de
:
- Usando
, temos
- O termo dominante é
, isto é
Passo 7
Formar o quociente e obter o limite:
- Substituindo as formas dominantes no quociente:
- Dividindo numerador e denominador por
:
- Portanto, quando
, o termo tende a e os termos de resto também tendem a . Conclusão:
Passo 8
(Apresento uma alternativa rápida com l’Hôpital para confirmar — só se preferir usar derivadas na prova)
- A forma é
, então aplica-se l’Hôpital: - Derivando numerador:
. - Derivando denominador:
. - Avaliando em
obtém-se novamente , então aplica-se l’Hôpital uma segunda vez. - Segunda derivada do numerador:
. - Segunda derivada do denominador:
. - Avaliando em
: numerador , denominador . Logo o limite das segundas derivadas é .
- Derivando numerador:
- Isso confirma o resultado obtido pelas séries.