\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\operatorname{sen} x}{\operatorname{sen}^{2} x}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que já temos disponível:
  • Pede o valor de \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\tan x-\operatorname{sen} x}{\operatorname{sen}^{2} x}.
  • A expressão enviada é
\frac{\tan x-\operatorname{sen} x}{\operatorname{sen}^{2} x}.
  • Observação imediata: ao substituir x=0 temos \tan 0=0 e \operatorname{sen}0=0, então a forma é \frac{0}{0}, isto é, uma indeterminação. Precisa de um procedimento para eliminar essa indeterminação e calcular o limite.

Passo 2

Escolha do método e estratégia:
  • Vou usar séries de Maclaurin (expansões para pequenos x) até a ordem suficiente para ver o comportamento dominante do numerador e do denominador. Justificativa: para limites quando x\to 0 é muito prático desenvolver \sin x e \tan x em potências de x e comparar as ordens principais — isso costuma ser mais rápido e menos sujeito a erro do que fazer muitas derivações com l’Hôpital.
  • Vou também mostrar, ao final, uma alternativa por l’Hôpital para confirmar o resultado (se quiser só conferir rápido na prova, dá pra usar l’Hôpital).

Passo 3

Expansão em série (Maclaurin) de \sin x:
  • A série de Maclaurin de \sin x é obtida pelas derivadas em 0. As primeiras derivadas em 0 são:
    \sin 0=0, \sin'0=\cos 0=1, \sin''0= -\sin 0=0, \sin'''0=-1.
  • Assim, a expansão até a ordem x^3 é
\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + O(x^{5}),
onde O(x^{5}) indica termos de ordem x^{5} ou maior quando x\to 0.

Passo 4

Expansão em série de \tan x usando \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}:
  • Primeiro escrevo a série de \cos x até a ordem necessária:
\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2} + O(x^{4}).
  • Agora procuro uma expansão para \tan x da forma
\tan x = a_{1}x + a_{3}x^{3} + O(x^{5}).
  • Multiplicando por \cos x deve dar \sin x:
\big(a_{1}x + a_{3}x^{3} + O(x^{5})\big)\big(1 - \tfrac{x^{2}}{2} + O(x^{4})\big) = a_{1}x + \big(a_{3}-\tfrac{a_{1}}{2}\big)x^{3} + O(x^{5}).
  • Igualando com \sin x = x - \tfrac{x^{3}}{6} + O(x^{5}) obtemos os coeficientes:
    • Coeficiente de x: a_{1}=1.
    • Coeficiente de x^{3}: a_{3}-\tfrac{a_{1}}{2} = -\tfrac{1}{6} a_{3} = -\tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{3}.
  • Portanto
\tan x = x + \frac{x^{3}}{3} + O(x^{5}).

Passo 5

Calcular o numerador \tan x - \sin x usando as séries:
  • Subtraindo as duas expansões:
\tan x - \sin x = \left(x + \frac{x^{3}}{3} + O(x^{5})\right) - \left(x - \frac{x^{3}}{6} + O(x^{5})\right) = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\right)x^{3} + O(x^{5}).
  • Simplificando os coeficientes:
\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.
  • Logo
\tan x - \sin x = \frac{x^{3}}{2} + O(x^{5}).

Passo 6

Calcular o denominador \sin^{2} x usando a série de \sin x:
  • Usando \sin x = x - \tfrac{x^{3}}{6} + O(x^{5}), temos
\sin^{2} x = \big(x - \tfrac{x^{3}}{6} + O(x^{5})\big)^{2} = x^{2} - \tfrac{x^{4}}{3} + O(x^{6}).
  • O termo dominante é x^{2}, isto é
\sin^{2} x = x^{2} + O(x^{4}).

Passo 7

Formar o quociente e obter o limite:
  • Substituindo as formas dominantes no quociente:
\frac{\tan x - \sin x}{\sin^{2} x} = \frac{\tfrac{x^{3}}{2} + O(x^{5})}{x^{2} + O(x^{4})}.
  • Dividindo numerador e denominador por x^{2}:
\frac{\tfrac{x^{3}}{2} + O(x^{5})}{x^{2} + O(x^{4})} = \frac{x}{2} + O(x^{3}).
  • Portanto, quando x\to 0, o termo \dfrac{x}{2} tende a 0 e os termos de resto também tendem a 0. Conclusão:
\lim_{x\to 0}\frac{\tan x - \sin x}{\sin^{2} x} = 0.

Passo 8

(Apresento uma alternativa rápida com l’Hôpital para confirmar — só se preferir usar derivadas na prova)
  • A forma é 0/0, então aplica-se l’Hôpital:
    • Derivando numerador: \dfrac{d}{dx}(\tan x - \sin x)=\operatorname{sec}^{2}x - \cos x.
    • Derivando denominador: \dfrac{d}{dx}(\sin^{2}x)=2\sin x\cos x=\sin 2x.
    • Avaliando em x=0 obtém-se novamente 0/0, então aplica-se l’Hôpital uma segunda vez.
    • Segunda derivada do numerador: \dfrac{d}{dx}(\operatorname{sec}^{2}x - \cos x)=2\operatorname{sec}^{2}x\tan x + \sin x.
    • Segunda derivada do denominador: \dfrac{d}{dx}(\sin 2x)=2\cos 2x.
    • Avaliando em x=0: numerador =0, denominador =2. Logo o limite das segundas derivadas é 0/2=0.
  • Isso confirma o resultado obtido pelas séries.

Resposta

0

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