\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1-x^{2}}{\operatorname{sen} \pi x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 1}\frac{1-x^{2}}{\operatorname{sen}\pi x}.
Informações dadas:
  • A expressão a ser tomada no limite é \dfrac{1-x^{2}}{\operatorname{sen}\pi x}.
  • A variável tende para x=1.
O que o problema exige: avaliar esse limite quando x se aproxima de 1.

Passo 2

Primeiro vamos checar o tipo de indeterminação substituindo x=1 diretamente:
1-x^{2}\Big|_{x=1}=1-1^{2}=0, \qquad \operatorname{sen}(\pi x)\Big|_{x=1}=\operatorname{sen}(\pi)=0.
Temos uma forma 0/0, que é indeterminada. Isso pede que manipulemos a expressão (ou usemos uma regra como L’Hôpital) para obter um valor determinado. Vou optar por manipulações algébricas e uma propriedade básica do seno (limite \sin t/t\to1), porque é um caminho curto e didático.

Passo 3

Fatoramos o numerador usando diferença de quadrados:
1-x^{2}=(1-x)(1+x).
Agora vamos tratar o denominador. Usamos a identidade de deslocamento do seno:
\operatorname{sen}(\pi x)=\operatorname{sen}\big(\pi(x-1)+\pi\big).
Como \operatorname{sen}(\alpha+\pi)=-\operatorname{sen}\alpha, obtemos
\operatorname{sen}(\pi x)=-\operatorname{sen}\big(\pi(x-1)\big).
Substituindo nas frações e simplificando sinais:
\frac{1-x^{2}}{\operatorname{sen}\pi x} = \frac{(1-x)(1+x)}{-\operatorname{sen}\big(\pi(x-1)\big)} = \frac{-(x-1)(1+x)}{-\operatorname{sen}\big(\pi(x-1)\big)} = \frac{(x-1)(1+x)}{\operatorname{sen}\big(\pi(x-1)\big)}.

Passo 4

Faça a substituição h=x-1. Quando x\to1 temos h\to0. Reescrevendo a expressão em h:
\frac{(x-1)(1+x)}{\operatorname{sen}\big(\pi(x-1)\big)} = \frac{h\,(1+(1+h))}{\operatorname{sen}(\pi h)} = \frac{h(2+h)}{\operatorname{sen}(\pi h)}.
Agora separamos a parte que tende para uma constante da parte que contém o limite padrão do seno:
\frac{h(2+h)}{\operatorname{sen}(\pi h)} =(2+h)\cdot\frac{h}{\operatorname{sen}(\pi h)}.
Para avaliar \dfrac{h}{\operatorname{sen}(\pi h)} usamos a conhecida propriedade do seno:
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Colocando t=\pi h temos \lim_{h\to0}\dfrac{\sin(\pi h)}{\pi h}=1, ou seja \lim_{h\to0}\dfrac{\pi h}{\sin(\pi h)}=1. Assim
\lim_{h\to0}\frac{h}{\operatorname{sen}(\pi h)} =\lim_{h\to0}\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi h}{\operatorname{sen}(\pi h)} =\frac{1}{\pi}\cdot 1=\frac{1}{\pi}.
Logo
\lim_{h\to0}(2+h)\cdot\frac{h}{\operatorname{sen}(\pi h)} =\big(\lim_{h\to0}(2+h)\big)\cdot\big(\lim_{h\to0}\frac{h}{\operatorname{sen}(\pi h)}\big) =2\cdot\frac{1}{\pi}=\frac{2}{\pi}.

Passo 5

Breve verificação alternativa (regra de L’Hôpital): como tínhamos forma 0/0, derivando numerador e denominador em relação a x,
\text{num}'(x)=-2x,\qquad \text{den}'(x)=\pi\cos(\pi x).
Pela regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to1}\frac{1-x^{2}}{\operatorname{sen}\pi x} =\lim_{x\to1}\frac{-2x}{\pi\cos(\pi x)} =\frac{-2\cdot 1}{\pi\cos(\pi)} =\frac{-2}{\pi\cdot(-1)}=\frac{2}{\pi},
confirmando o resultado obtido antes.

Passo 6

Interpretação final rápida: o limite existe e vale \dfrac{2}{\pi}. Boa notícia — apesar da forma 0/0, com uma fatoração simples e a propriedade básica do seno chegamos direto ao número. Força aí nas revisões; esse tipo de manipulação aparece muito em prova e vale decorar a técnica: fatorar, aproximar seno por seu argumento ou aplicar L’Hôpital quando for conveniente.

Resposta

\dfrac{2}{\pi}

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