Temos uma forma 0/0, que é indeterminada. Isso pede que manipulemos a expressão (ou usemos uma regra como L’Hôpital) para obter um valor determinado. Vou optar por manipulações algébricas e uma propriedade básica do seno (limite \sin t/t\to1), porque é um caminho curto e didático.
Passo 3
Fatoramos o numerador usando diferença de quadrados:
1-x^{2}=(1-x)(1+x).
Agora vamos tratar o denominador. Usamos a identidade de deslocamento do seno:
Interpretação final rápida: o limite existe e vale \dfrac{2}{\pi}. Boa notícia — apesar da forma 0/0, com uma fatoração simples e a propriedade básica do seno chegamos direto ao número. Força aí nas revisões; esse tipo de manipulação aparece muito em prova e vale decorar a técnica: fatorar, aproximar seno por seu argumento ou aplicar L’Hôpital quando for conveniente.