Q.2: [\mathbf{2 , 0}] Avalie a integral imprópria abaixo e verifique se converge ou diverge. (Justifique suas respostas.)
\int_{2}^{\infty} \frac{x}{\sqrt{\left(x^{2}-3\right)^{3}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a integral imprópria
\int_{2}^{\infty} \frac{x}{\sqrt{(x^{2}-3)^{3}}}\,dx
e determinar se ela converge ou diverge. Vamos usar técnicas de substituição para calcular a antiderivada e depois tomar o limite no infinito.

Passo 2

Verificamos onde o integrando é contínuo. Para x\ge2 temos x^{2}-3\ge1>0, logo não há singularidade em x=2. A única impropriedade vem do limite superior infinito.

Passo 3

Calculemos a integral indefinida. Faça
u = x^{2}-3, \quad du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Assim,
\int \frac{x}{(x^{2}-3)^{3/2}}\,dx = \frac{1}{2}\int u^{-3/2}\,du = \frac{1}{2}\,\frac{u^{-1/2}}{-\tfrac12} = -u^{-1/2}+C = -\frac{1}{\sqrt{x^{2}-3}}+C.

Passo 4

Avalie a integral de 2 até um limite R:
\int_{2}^{R} \frac{x}{\sqrt{(x^{2}-3)^{3}}}\,dx = \left[-\frac{1}{\sqrt{x^{2}-3}}\right]_{2}^{R} = -\frac{1}{\sqrt{R^{2}-3}} - \Bigl(-\frac{1}{\sqrt{2^{2}-3}}\Bigr) = 1 - \frac{1}{\sqrt{R^{2}-3}}.

Passo 5

Tomando R\to\infty, obtemos
\lim_{R\to\infty}\Bigl(1 - \frac{1}{\sqrt{R^{2}-3}}\Bigr) =1-0 =1.
Como o limite é finito, a integral converge.

Resposta

A integral converge e vale 1.

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