\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \operatorname{sen} x}{1+\cos (x-\pi)}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0}\frac{x\,\operatorname{sen} x}{1+\cos(x-\pi)},
que é uma forma indeterminada 0/0. O conteúdo aqui é limite de funções trigonométricas em ponto zero, e vamos precisar usar as equivalências para pequenos x: \operatorname{sen} x\sim x e 1-\cos x\sim \tfrac{x^2}{2}.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o denominador usando a identidade
\cos(x-\pi)= -\cos x.
Então
1+\cos(x-\pi)=1-\cos x.

Passo 3

Para x\to0 valem as seguintes aproximações de primeira ordem (ou desenvolvimento de Taylor):
\operatorname{sen} x \sim x, \quad 1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}.

Passo 4

Substituindo essas equivalências no quociente, temos
\frac{x\,\operatorname{sen} x}{1+\cos(x-\pi)} =\frac{x\,\operatorname{sen} x}{1-\cos x} \sim\frac{x\cdot x}{\tfrac{x^2}{2}} =\frac{x^2}{x^2/2} =2.

Resposta

2

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