Questão 2: Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(2, y)} \frac{x y-2 y}{x^{2}+y^{2}-4 x+4}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor, se existir, do limite
\lim_{(x,y)\to(2,y)} \frac{xy-2y}{x^{2}+y^{2}-4x+4}.
Informações dadas e observações iniciais (apenas listar):
  • A expressão a avaliar é \dfrac{xy-2y}{x^{2}+y^{2}-4x+4}.
  • O ponto de aproximação está escrito como (2,y): isto indica que a variável x tende a 2 enquanto y permanece o mesmo (ou seja, trata-se de um limite em x com y tratado como parâmetro).
  • Não foram dados valores numéricos específicos para y; portanto o resultado pode depender do valor de y.
  • A tarefa é: achar o limite (para cada y), ou mostrar que não existe.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão algébrica antes de fazer qualquer argumento sobre limite. Primeiro fatorar o numerador e completar o quadrado no denominador:
xy-2y = y(x-2),
x^{2}+y^{2}-4x+4 = (x^{2}-4x+4)+y^{2} = (x-2)^{2}+y^{2}.
Portanto a função pode ser reescrita como
\frac{xy-2y}{x^{2}+y^{2}-4x+4} = \frac{y(x-2)}{(x-2)^{2}+y^{2}}.

Passo 3

Interpretando o limite: como o ponto de aproximação é (2,y) com a mesma letra y, consideramos y fixo e fazemos o limite quando x\to2. Para estudar esse limite é útil fazer a troca t=x-2. Assim t\to0 quando x\to2, e a expressão fica
\frac{y\,t}{t^{2}+y^{2}}.
Agora analisamos separadamente os casos possíveis para o parâmetro y.

Passo 4

Caso y\neq 0.
Aqui y^{2}>0, logo quando t\to0 o denominador t^{2}+y^{2} tende a y^{2}\neq0. Podemos usar uma desigualdade simples para mostrar que a fração tende a zero. Tomando valor absoluto:
\left|\frac{y\,t}{t^{2}+y^{2}}\right| = |y|\cdot\frac{|t|}{t^{2}+y^{2}} \le |y|\cdot\frac{|t|}{y^{2}} = \frac{|t|}{|y|}.
Como t\to0, temos \dfrac{|t|}{|y|}\to 0. Pelo teorema do confronto (princípio do sanduíche), segue que
\lim_{t\to0}\frac{y\,t}{t^{2}+y^{2}} = 0.
Portanto, para todo y\neq0,
\lim_{x\to2}\frac{xy-2y}{x^{2}+y^{2}-4x+4} = 0.

Passo 5

Caso y=0.
Se y=0 a expressão original (para x\neq2) é
\frac{x\cdot 0 - 2\cdot 0}{x^{2}+0-4x+4} = \frac{0}{(x-2)^{2}} = 0.
Ou seja, para todo x\neq2 a função vale 0. Assim claramente
\lim_{x\to2}\frac{xy-2y}{x^{2}+y^{2}-4x+4} = 0\quad\text{quando }y=0.

Passo 6

Conclusão unificada: tanto no caso y\neq0 quanto em y=0 o limite (quando x\to2 com y fixo) existe e vale 0. Portanto, para qualquer valor de y,
\lim_{(x,y)\to(2,y)} \frac{xy-2y}{x^{2}+y^{2}-4x+4} = 0.

Resposta

0

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