Informações dadas e observações iniciais (apenas listar):
A expressão a avaliar é \dfrac{xy-2y}{x^{2}+y^{2}-4x+4}.
O ponto de aproximação está escrito como (2,y): isto indica que a variável x tende a 2 enquanto y permanece o mesmo (ou seja, trata-se de um limite em x com y tratado como parâmetro).
Não foram dados valores numéricos específicos para y; portanto o resultado pode depender do valor de y.
A tarefa é: achar o limite (para cada y), ou mostrar que não existe.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão algébrica antes de fazer qualquer argumento sobre limite. Primeiro fatorar o numerador e completar o quadrado no denominador:
Interpretando o limite: como o ponto de aproximação é (2,y) com a mesma letra y, consideramos y fixo e fazemos o limite quando x\to2. Para estudar esse limite é útil fazer a troca t=x-2. Assim t\to0 quando x\to2, e a expressão fica
\frac{y\,t}{t^{2}+y^{2}}.
Agora analisamos separadamente os casos possíveis para o parâmetro y.
Passo 4
Caso y\neq 0.
Aqui y^{2}>0, logo quando t\to0 o denominador t^{2}+y^{2} tende a y^{2}\neq0. Podemos usar uma desigualdade simples para mostrar que a fração tende a zero. Tomando valor absoluto: