\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{\operatorname{sec} x-\operatorname{sec} x_{0}}{x-x_{0}},onde x_{0} \in \mathbb{R}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede o valor do limite \displaystyle \lim_{x\to x_{0}} \frac{\operatorname{sec} x-\operatorname{sec} x_{0}}{x-x_{0}}.
  • Foi dado que x_{0}\in\mathbb{R}.
  • Informação importante a notar: a função \operatorname{sec} está definida somente quando \cos não é zero. Ou seja, \operatorname{sec} x_{0} só existe (como número real) se \cos x_{0}\neq 0.
As perguntas implícitas que vamos responder:
  • Para quais x_{0} esse limite faz sentido como número real?
  • Qual é o valor do limite quando ele existe?

Passo 2

Decisão de casos (porque isso afeta se a expressão faz sentido):
  • Caso A: \cos x_{0}\neq 0. Então \operatorname{sec} x_{0} está bem definido e a expressão faz sentido para x próximos de x_{0} (exceto pontos onde \cos x=0, mas numa vizinhança pequena e fixa em geral \cos x será diferente de zero). Nesse caso procuramos calcular o limite e esperamos um resultado finito.
  • Caso B: \cos x_{0}=0. Então \operatorname{sec} x_{0} não é um número real (tem polo vertical). A expressão original contém \operatorname{sec} x_{0} como termo, então não é bem definida como diferença de números reais; assim o limite não existe como número real. Vou demonstrar isso de forma clara depois.
Agora partimos para calcular o limite no Caso A.

Passo 3

Preparar uma manipulação algébrica que torne o quociente mais manejável:
Começamos pela expressão (supondo \cos x_{0}\neq 0):
\frac{\operatorname{sec} x-\operatorname{sec} x_{0}}{x-x_{0}} =\frac{\dfrac{1}{\cos x}-\dfrac{1}{\cos x_{0}}}{x-x_{0}} =\frac{\cos x_{0}-\cos x}{\cos x\cos x_{0}\,(x-x_{0})}.
Aqui usei a definição \operatorname{sec} t = \dfrac{1}{\cos t} e coloquei tudo sobre um denominador comum. A vantagem é que agora o numerador é uma diferença de cossenos, para a qual existe uma identidade trigonométrica útil.

Passo 4

Usar a identidade de soma/diferença de cossenos para reescrever o numerador:
A identidade é
\cos a - \cos b = -2\sin\!\left(\frac{a+b}{2}\right)\sin\!\left(\frac{a-b}{2}\right).
Aplicando com a=x_{0} e b=x (ou vice-versa) obtemos, mais convenientemente rearranjado,
\cos x_{0}-\cos x = 2\sin\!\left(x_{0}+\frac{x-x_{0}}{2}\right)\sin\!\left(\frac{x-x_{0}}{2}\right).
Para simplificar a notação a seguir, vamos definir h=x-x_{0}. Então quando x\to x_{0} temos h\to 0 e a expressão vira:
\cos x_{0}-\cos x = 2\sin\!\left(x_{0}+\frac{h}{2}\right)\sin\!\left(\frac{h}{2}\right).

Passo 5

Substituir na fração e reorganizar para aparecer um fator do tipo \dfrac{\sin t}{t} (que tem limite 1):
Substituindo na expressão obtida no Passo 3 e trocando x=x_{0}+h:
\frac{\operatorname{sec} x-\operatorname{sec} x_{0}}{x-x_{0}} = \frac{2\sin\!\left(x_{0}+\dfrac{h}{2}\right)\sin\!\left(\dfrac{h}{2}\right)}{\cos(x_{0}+h)\cos x_{0}\,h}.
Agora extraímos os fatores de maneira conveniente:
\frac{\operatorname{sec} x-\operatorname{sec} x_{0}}{x-x_{0}} = \frac{\sin\!\left(x_{0}+\dfrac{h}{2}\right)}{\cos(x_{0}+h)\cos x_{0}} \cdot \frac{2\sin\!\left(\dfrac{h}{2}\right)}{h}.
Observe que \dfrac{2\sin\!\left(\dfrac{h}{2}\right)}{h}=\dfrac{\sin\!\left(\dfrac{h}{2}\right)}{\dfrac{h}{2}}, que é do tipo \dfrac{\sin t}{t} com t=\dfrac{h}{2}.

Passo 6

Aplicar limites aos fatores separados, justificando cada passo:
  • Propriedade de continuidade: as funções \sin e \cos são contínuas em todos os pontos, então quando h\to 0 vale
    \sin\!\left(x_{0}+\frac{h}{2}\right)\longrightarrow \sin x_{0}, \qquad \cos(x_{0}+h)\longrightarrow \cos x_{0}.
    Como assumimos \cos x_{0}\neq 0, o denominador \cos(x_{0}+h)\cos x_{0} tende para \cos^{2}x_{0}\neq 0.
  • Limite trigonométrico padrão: \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1. Aplicando com t=\dfrac{h}{2} obtemos
    \lim_{h\to 0}\frac{2\sin\!\left(\dfrac{h}{2}\right)}{h}=1.
    (Se quiser, há uma prova clássica por desigualdades geométricas ou usando séries; aqui usamos esse resultado padrão.)
Portanto, tomando limite em ambos os fatores do produto:
\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sec}(x_{0}+h)-\operatorname{sec} x_{0}}{h} = \frac{\sin x_{0}}{\cos^{2}x_{0}}\cdot 1 = \frac{\sin x_{0}}{\cos^{2}x_{0}}.

Passo 7

Dar a forma mais reconhecível e uma interpretação rápida:
A expressão \dfrac{\sin x_{0}}{\cos^{2}x_{0}} pode ser reescrita usando \operatorname{sec} e \tan:
\frac{\sin x_{0}}{\cos^{2}x_{0}}=\frac{1}{\cos x_{0}}\cdot\frac{\sin x_{0}}{\cos x_{0}}=\operatorname{sec} x_{0}\tan x_{0}.
Assim o limite (no Caso A) é \operatorname{sec} x_{0}\tan x_{0}. Essa igualdade também corresponde ao fato (intuitivo) de que esse limite é exatamente o quociente de diferença usado na definição de derivada da função \operatorname{sec} em x_{0}: o resultado é a derivada (\operatorname{sec})'(x_{0}).

Passo 8

Tratamento do Caso B ( \cos x_{0}=0):
Se \cos x_{0}=0 então \operatorname{sec} x_{0} não é um número real (tem pólo) e a expressão original \dfrac{\operatorname{sec} x-\operatorname{sec} x_{0}}{x-x_{0}} não está bem definida como diferença de números reais para x próximos de x_{0}. Mesmo tentando interpretar por limites, \operatorname{sec} x tem comportamento de tipo 1/( x-x_{0}) próximo de x_{0} (um assimptoto vertical), daí não há um limite finito. Logo, como número real, o limite não existe quando \cos x_{0}=0.

Resposta

Se \cos x_{0}\neq 0, então \displaystyle \lim_{x\to x_{0}}\frac{\operatorname{sec} x-\operatorname{sec} x_{0}}{x-x_{0}}=\frac{\sin x_{0}}{\cos^{2}x_{0}}=\operatorname{sec} x_{0}\tan x_{0}.
Se \cos x_{0}=0, o limite não existe (a expressão não está bem definida como número real).

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