onde
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede o valor do limite
. - Foi dado que
. - Informação importante a notar: a função
está definida somente quando não é zero. Ou seja, só existe (como número real) se .
As perguntas implícitas que vamos responder:
- Para quais
esse limite faz sentido como número real? - Qual é o valor do limite quando ele existe?
Passo 2
Decisão de casos (porque isso afeta se a expressão faz sentido):
- Caso A:
. Então está bem definido e a expressão faz sentido para próximos de (exceto pontos onde , mas numa vizinhança pequena e fixa em geral será diferente de zero). Nesse caso procuramos calcular o limite e esperamos um resultado finito. - Caso B:
. Então não é um número real (tem polo vertical). A expressão original contém como termo, então não é bem definida como diferença de números reais; assim o limite não existe como número real. Vou demonstrar isso de forma clara depois.
Agora partimos para calcular o limite no Caso A.
Passo 3
Preparar uma manipulação algébrica que torne o quociente mais manejável:
Começamos pela expressão (supondo
):
Aqui usei a definição
e coloquei tudo sobre um denominador comum. A vantagem é que agora o numerador é uma diferença de cossenos, para a qual existe uma identidade trigonométrica útil.
Passo 4
Usar a identidade de soma/diferença de cossenos para reescrever o numerador:
A identidade é
Aplicando com
e
(ou vice-versa) obtemos, mais convenientemente rearranjado,
Para simplificar a notação a seguir, vamos definir
. Então quando
temos
e a expressão vira:
Passo 5
Substituir na fração e reorganizar para aparecer um fator do tipo
(que tem limite 1):
Substituindo na expressão obtida no Passo 3 e trocando
:
Agora extraímos os fatores de maneira conveniente:
Observe que
, que é do tipo
com
.
Passo 6
Aplicar limites aos fatores separados, justificando cada passo:
-
Propriedade de continuidade: as funções
e são contínuas em todos os pontos, então quando vale Como assumimos, o denominador tende para . -
Limite trigonométrico padrão:
. Aplicando com obtemos (Se quiser, há uma prova clássica por desigualdades geométricas ou usando séries; aqui usamos esse resultado padrão.)
Portanto, tomando limite em ambos os fatores do produto:
Passo 7
Dar a forma mais reconhecível e uma interpretação rápida:
A expressão
pode ser reescrita usando
e
:
Assim o limite (no Caso A) é
. Essa igualdade também corresponde ao fato (intuitivo) de que esse limite é exatamente o quociente de diferença usado na definição de derivada da função
em
: o resultado é a derivada
.
Passo 8
Tratamento do Caso B (
):
Se
então
não é um número real (tem pólo) e a expressão original
não está bem definida como diferença de números reais para
próximos de
. Mesmo tentando interpretar por limites,
tem comportamento de tipo
(
) próximo de
(um assimptoto vertical), daí não há um limite finito. Logo, como número real, o limite não existe quando
.
Resposta
Se
, então
Se , o limite não existe (a expressão não está bem definida como número real).
Se