onde
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Está dado o limite
com
.
- A pergunta implícita é: qual é o valor desse limite (quando ele existe)?
- Informação importante a notar desde já: a função
não está definida em pontos onde , ou seja, em . Isso afeta a existência do limite quando .
Passo 2
Transformar a diferença de tangentes usando uma identidade trigonométrica útil.
Vamos usar a identidade para a diferença de tangentes. Para quaisquer e
em que
e
existam e sejam não nulas,
Vamos usar a identidade para a diferença de tangentes. Para quaisquer
Expliquei cada passo: escrevemos
como
, colocamos em denominador comum
e usamos a identidade de seno da diferença
.
Passo 3
Aplicar a identidade ao nosso limite.
Substituindo e
obtemos
Substituindo
Assim o quociente do enunciado fica
Ou seja, escrevemos o quociente como produto de duas expressões: uma que envolve
e outra que envolve
.
Passo 4
Lembrar e aplicar limites básicos de trigonometria e continuidade.
Do cálculo básico, sabemos a identidade limite fundamental
Do cálculo básico, sabemos a identidade limite fundamental
Fazendo a substituição
, quando
temos
e então
Além disso, a função
é contínua onde está definida, logo se
existe (isto é,
) então
e portanto
Podemos então tomar limite do produto como produto dos limites, porque ambos existem e são finitos.
Passo 5
Combinar os limites e escrever a resposta final (caso regular).
Multiplicando os limites das duas partes:
Multiplicando os limites das duas partes:
Usualmente escrevemos esse resultado também como
Passo 6
Analisar o caso em que
.
Se (ou seja,
), então
não está definido. Nesse caso a expressão original
não faz sentido (não está bem definida) e não existe um número real que seja o valor do limite. Portanto o resultado anterior só vale quando
.
Se
Resposta
Se