\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{\tan x-\tan x_{0}}{x-x_{0}},onde x_{0} \in \mathbb{R}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Está dado o limite
\lim_{x\to x_{0}} \frac{\tan x-\tan x_{0}}{x-x_{0}},
com x_{0}\in\mathbb{R}.
  • A pergunta implícita é: qual é o valor desse limite (quando ele existe)?
  • Informação importante a notar desde já: a função \tan não está definida em pontos onde \cos x=0, ou seja, em x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi. Isso afeta a existência do limite quando \cos x_{0}=0.

Passo 2

Transformar a diferença de tangentes usando uma identidade trigonométrica útil.
Vamos usar a identidade para a diferença de tangentes. Para quaisquer a e b em que \cos a e \cos b existam e sejam não nulas,
\tan a-\tan b=\frac{\sin a}{\cos a}-\frac{\sin b}{\cos b}=\frac{\sin a\cos b-\cos a\sin b}{\cos a\cos b}=\frac{\sin(a-b)}{\cos a\cos b}.
Expliquei cada passo: escrevemos \tan como \sin/\cos, colocamos em denominador comum \cos a\cos b e usamos a identidade de seno da diferença \sin a\cos b-\cos a\sin b=\sin(a-b).

Passo 3

Aplicar a identidade ao nosso limite.
Substituindo a=x e b=x_{0} obtemos
\tan x-\tan x_{0}=\frac{\sin(x-x_{0})}{\cos x\cos x_{0}}.
Assim o quociente do enunciado fica
\frac{\tan x-\tan x_{0}}{x-x_{0}}=\frac{\sin(x-x_{0})}{x-x_{0}}\cdot\frac{1}{\cos x\cos x_{0}}.
Ou seja, escrevemos o quociente como produto de duas expressões: uma que envolve \sin(x-x_{0})/(x-x_{0}) e outra que envolve \cos x.

Passo 4

Lembrar e aplicar limites básicos de trigonometria e continuidade.
Do cálculo básico, sabemos a identidade limite fundamental
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.
Fazendo a substituição u=x-x_{0}, quando x\to x_{0} temos u\to 0 e então
\lim_{x\to x_{0}}\frac{\sin(x-x_{0})}{x-x_{0}}=1.
Além disso, a função \cos x é contínua onde está definida, logo se \cos x_{0} existe (isto é, \cos x_{0}\neq 0) então
\lim_{x\to x_{0}}\cos x=\cos x_{0},
e portanto
\lim_{x\to x_{0}}\frac{1}{\cos x\cos x_{0}}=\frac{1}{\cos^{2}x_{0}}.
Podemos então tomar limite do produto como produto dos limites, porque ambos existem e são finitos.

Passo 5

Combinar os limites e escrever a resposta final (caso regular).
Multiplicando os limites das duas partes:
\lim_{x\to x_{0}}\frac{\tan x-\tan x_{0}}{x-x_{0}} = \left(\lim_{x\to x_{0}}\frac{\sin(x-x_{0})}{x-x_{0}}\right)\cdot\left(\lim_{x\to x_{0}}\frac{1}{\cos x\cos x_{0}}\right) = 1\cdot\frac{1}{\cos^{2}x_{0}}=\frac{1}{\cos^{2}x_{0}}.
Usualmente escrevemos esse resultado também como
\frac{1}{\cos^{2}x_{0}}=\operatorname{sec}^{2}x_{0}=1+\tan^{2}x_{0}.

Passo 6

Analisar o caso em que \cos x_{0}=0.
Se \cos x_{0}=0 (ou seja, x_{0}=\tfrac{\pi}{2}+k\pi), então \tan x_{0} não está definido. Nesse caso a expressão original \dfrac{\tan x-\tan x_{0}}{x-x_{0}} não faz sentido (não está bem definida) e não existe um número real que seja o valor do limite. Portanto o resultado anterior só vale quando \cos x_{0}\neq 0.

Resposta

\dfrac{1}{\cos^{2}x_{0}}=\operatorname{sec}^{2}x_{0}=1+\tan^{2}x_{0}, se \cos x_{0}\neq 0.
Se \cos x_{0}=0, a expressão não está definida em x_{0} e o limite numérico não existe.

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