Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas:
- A expressão é um polinômio em
, formado por três termos: , e . - A variável
tende para mais infinito, isto é, .
Passo 2
Intuição (para já ir pegando o jeito): entre os três termos,
cresce muito mais rápido quando
cresce do que
ou
. Então espera-se que o comportamento para
seja dominado por
. Mas vamos formalizar isso para usar numa prova.
Passo 3
Fatoramos a maior potência de
, que é
, para tornar claro o papel relativo dos termos menores:
Passo 4
Analisamos a parte dentro dos parênteses. Para
vale que
. Aplicando isso:
Portanto, pela soma e diferença de limites,
Passo 5
Agora olhamos para
. É claro que
Temos, então, um produto do tipo (função que tende a
) multiplicado por (função que tende a
e, em particular, tende a um número positivo). Uma maneira simples e rigorosa de concluir é a seguinte: como a parte entre parênteses tende a
, existe um
suficientemente grande tal que, para todo
,
Para esses
maiores que
temos
e como
quando
, segue que
Passo 6
Portanto o limite pedido diverge para
; em palavras: o polinômio cresce sem limite quando
tende a mais infinito, dominado pelo termo de maior grau
.