\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{4}-3 x+2\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando x tende a +\infty:
\lim_{x\to+\infty}\left(x^{4}-3x+2\right).
Informações dadas:
  • A expressão é um polinômio em x, formado por três termos: x^{4}, -3x e +2.
  • A variável x tende para mais infinito, isto é, x\to+\infty.

Passo 2

Intuição (para já ir pegando o jeito): entre os três termos, x^{4} cresce muito mais rápido quando x cresce do que -3x ou +2. Então espera-se que o comportamento para x\to+\infty seja dominado por x^{4}. Mas vamos formalizar isso para usar numa prova.

Passo 3

Fatoramos a maior potência de x, que é x^{4}, para tornar claro o papel relativo dos termos menores:
x^{4}-3x+2 = x^{4}\left(1-\frac{3x}{x^{4}}+\frac{2}{x^{4}}\right) = x^{4}\left(1-\frac{3}{x^{3}}+\frac{2}{x^{4}}\right).

Passo 4

Analisamos a parte dentro dos parênteses. Para k>0 vale que \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{k}}=0. Aplicando isso:
\lim_{x\to+\infty}\frac{3}{x^{3}}=0, \qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x^{4}}=0.
Portanto, pela soma e diferença de limites,
\lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{3}{x^{3}}+\frac{2}{x^{4}}\right)=1.

Passo 5

Agora olhamos para x^{4}. É claro que
\lim_{x\to+\infty}x^{4}=+\infty.
Temos, então, um produto do tipo (função que tende a +\infty) multiplicado por (função que tende a 1 e, em particular, tende a um número positivo). Uma maneira simples e rigorosa de concluir é a seguinte: como a parte entre parênteses tende a 1, existe um X suficientemente grande tal que, para todo x>X,
1-\frac{3}{x^{3}}+\frac{2}{x^{4}}>\tfrac{1}{2}.
Para esses x maiores que X temos
x^{4}\left(1-\frac{3}{x^{3}}+\frac{2}{x^{4}}\right) > \tfrac{1}{2}x^{4},
e como \tfrac{1}{2}x^{4}\to+\infty quando x\to+\infty, segue que
x^{4}\left(1-\frac{3}{x^{3}}+\frac{2}{x^{4}}\right)\to+\infty.

Passo 6

Portanto o limite pedido diverge para +\infty; em palavras: o polinômio cresce sem limite quando x tende a mais infinito, dominado pelo termo de maior grau x^{4}.

Resposta

+\infty

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