\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{x-1}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to1}\frac{x^{2}-1}{x-1}.
Isso faz parte do conteúdo de limites de funções e, em particular, de indeterminações do tipo \tfrac{0}{0}. Vamos resolver usando fatoração.

Passo 2

Verificamos o valor direto em x=1:
\frac{1^{2}-1}{1-1}=\frac{0}{0},
o que é uma forma indeterminada. Por isso precisamos reescrever a expressão de modo a cancelar o fator que gera o zero no denominador.

Passo 3

Fatoramos o numerador usando a identidade de diferença de quadrados:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Substituindo na fração, para x\neq1, temos
\frac{x^{2}-1}{x-1} =\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} =x+1.

Passo 4

Agora que simplificamos a expressão, basta calcular o limite da função equivalente x+1 quando x\to1:
\lim_{x\to1}(x+1)=1+1=2.

Resposta

2

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