\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}+2 x}{x^{3}-2 x+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to1}\frac{x^3+2x}{x^3-2x+1}.
Isso envolve limite de uma função racional em que a substituição direta pode dar forma indeterminada ou divergência. Vamos usar substituição, fatoração e análise de sinais.

Passo 2

Substituindo x=1 diretamente:
\text{numerador} = 1^3 + 2\cdot1 = 3, \quad \text{denominador} = 1^3 - 2\cdot1 +1 = 0.
Como o numerador tende a 3\neq0 e o denominador tende a 0, há indício de assimptota vertical em x=1.

Passo 3

Fatoramos o denominador para ver o comportamento próximo de x=1. Note que x=1 zera o polinômio, logo dividimos
x^3 - 2x +1 = (x-1)\bigl(x^2 + x -1\bigr).
Portanto, para x\neq1,
\frac{x^3+2x}{x^3-2x+1} = \frac{x^3+2x}{(x-1)(x^2+x-1)}.

Passo 4

Para x próximo de 1, o fator x^2+x-1 tende a
1^2 + 1 - 1 = 1 > 0.
Logo, o sinal do denominador é o mesmo de (x-1). O numerador tende a 3>0.
  • Se x\to1^-, então x-1<0 e o quociente \to -\infty.
  • Se x\to1^+, então x-1>0 e o quociente \to +\infty.

Resposta

O limite não existe (diverge): \lim_{x\to1^-}\frac{x^3+2x}{x^3-2x+1}=-\infty
e \lim_{x\to1^+}\frac{x^3+2x}{x^3-2x+1}=+\infty.

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