\lim_{x \rightarrow \infty} \left(\ln x^{2}-x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to\infty}\bigl(\ln x^{2}-x^{2}\bigr).
O conteúdo aqui é comparação de crescimento entre função logarítmica e polinomial, pois para x grande a parte que cresce mais rápido domina o limite.

Passo 2

Repare que
\ln x^{2}=2\,\ln x,
então a expressão fica
2\ln x - x^{2}.

Passo 3

Para ver qual termo domina, analisamos o quociente
\frac{\ln x}{x^{2}}.
Aplicando a Regra de L’Hôpital para \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^{2}}:
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^{2}} =\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{d}{dx}(\ln x)}{\frac{d}{dx}(x^{2})} =\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{2x} =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{2x^{2}} =0.
Isso mostra que \ln x é muito menor que x^{2} quando x\to\infty.

Passo 4

Escrevendo
2\ln x - x^{2} = x^{2}\Bigl(\frac{2\ln x}{x^{2}} - 1\Bigr),
e sabendo que \tfrac{2\ln x}{x^{2}}\to0, segue que
2\ln x - x^{2}\sim x^{2}(0 - 1)=-x^{2}\to -\infty.

Resposta

-\infty

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