Resolva os seguintes problemas de valor inicial
y^{\prime}(x)=(y-3 x-1)^{2}, y(0)=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y′(x) = (y − 3 x − 1)²
com condição inicial y(0) =1.
O objetivo é encontrar a solução y(x) usando teoria de equações separáveis.

Passo 2

Para simplificar, fazemos a substituição
u(x) = y(x) − 3 x − 1.
Então
u′(x) = y′(x) − 3.
Como y′ = (y−3x−1)², temos
u′ = u^{2} − 3.

Passo 3

A equação em u é separável:
u' = u^2 - 3
\frac{du}{u^2-3} = dx

Passo 4

Integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo é padrão:
\int \frac{du}{u^2 - 3} = \int dx
e resulta em
\frac{1}{2\sqrt{3}}\ln\!\Bigl|\frac{u - \sqrt{3}}{u + \sqrt{3}}\Bigr| = x + C.

Passo 5

Exponenciando e rearranjando, obtemos
\frac{u - \sqrt{3}}{u + \sqrt{3}} = K e^{2\sqrt{3}\,x}
onde K = e^{2\sqrt{3}C} é constante de integração. Isolando u,
u(x) = \sqrt{3}\,\frac{1 + K e^{2\sqrt{3}x}}{1 - K e^{2\sqrt{3}x}}.

Passo 6

Usamos a condição inicial y(0) =1\Rightarrow u(0)=y(0)− 1=0. Em x =0 a fórmula dá \sqrt{3}(1+K)/(1−K)=0 1+K=0 K=-1.
Assim
u(x) = \sqrt{3}\,\frac{1 - e^{2\sqrt{3}x}}{1 + e^{2\sqrt{3}x}} = -\sqrt{3}\,\operatorname{tanh}\bigl(\sqrt{3}\,x\bigr).

Passo 7

Voltando a y,
y(x) = u(x) + 3x + 1 = 3x + 1 - \sqrt{3}\,\operatorname{tanh}\bigl(\sqrt{3}\,x\bigr).

Resposta

y(x) = 3x + 1 - \sqrt{3}\,\operatorname{tanh}\bigl(\sqrt{3}\,x\bigr).

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