\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+x-6}{x+2}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede calcular \displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{x^{2}+x-6}{x+2}.
  • A expressão é uma razão entre um polinômio no numerador e um polinômio no denominador.
  • O ponto onde fazemos o limite é x=2.

Passo 2

O que significa esse limite (intuição): \displaystyle \lim_{x\to 2} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x chega cada vez mais perto de 2. Não é exigido que f(2) exista; o importante é o comportamento quando x se aproxima de 2.

Passo 3

Regra prática muito útil para estes casos: polinômios são funções contínuas em todo lugar, e quocientes de polinômios (funções racionais) são contínuos sempre que o denominador não seja zero no ponto. Isso significa que, se ao substituir x=2 o denominador for diferente de zero, então o limite é simplesmente o valor da função no ponto, ou seja, faz-se a substituição direta.

Passo 4

Verificar o denominador e o numerador em x=2:
  • Calculando o denominador: \;2+2=4, que é diferente de zero.
  • Calculando o numerador: \;2^{2}+2-6=4+2-6=0.
Como o denominador em x=2 é \;4\neq 0, a função é contínua em x=2 e podemos substituir diretamente no limite.

Passo 5

Fazendo a substituição e simplificando:
\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}+x-6}{x+2}=\frac{0}{4}=0.
Observação didática extra (útil para casos parecidos): o numerador fatoriza como
x^{2}+x-6=(x+3)(x-2).
Assim a expressão fica \displaystyle \frac{(x+3)(x-2)}{x+2}. No nosso ponto x=2 não há cancelamento com o denominador, porque x+2 em x=2 vale 4. Se tivéssemos 0/0 ao substituir, aí seria preciso fatorar e simplificar ou usar outras técnicas (por ex., regra de L’Hôpital) — mas aqui não é o caso.

Resposta

0

Exercícios relacionados