Resolva as seguintes integrais
Passo 1
O enunciado fornece a integral definida
O que é pedido: calcular o valor dessa integral definida entre os limites
e
.
Informações relevantes dadas:
- A variável de integração é
. - O intervalo de integração é
. - A função integranda é
.
Passo 2
Observação sobre a estrutura da integranda (por que isso importa).
- Note que a parte de cima da fração é
e a parte dentro da raiz é . A derivada de é , ou seja, a presença de combina bem com a derivada de . - Isso sugere usar a substituição do tipo
, porque com essa escolha o diferencial ficará proporcional a , o que vai simplificar a integral.
Explicação didática sobre a técnica de substituição:
- A substituição
serve para transformar uma integral em numa integral em mais simples, quando há uma parte do integrando que é a derivada (ou múltiplo da derivada) de outra parte. - Quando se faz essa substituição em integral definida, também se mudam os limites de integração: calcular
nos extremos de .
Passo 3
Efetuar a substituição.
- Seja
- Então o diferencial é
, portanto - Agora trocar os limites: quando
tem-se Quando tem-se
Passo 4
Escrever a integral em termos de
.
- Substituindo
e , obtemos
Passo 5
Calcular a primitiva de
.
- Regra de potência para integrais: para
,
- Aqui
, logo
- Multiplicando pelo fator
que estava fora da integral, o antiderivado da expressão original em é simplesmente .
Passo 6
Avaliar a integral definida usando a primitiva.
- Usando a primitiva
e os limites e ,
- Simplificando:
e . Portanto