Resolva as seguintes integrais
\int_{0}^{2} \frac{x}{\sqrt{4+x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado fornece a integral definida
\int_{0}^{2} \frac{x}{\sqrt{4+x^{2}}}\,dx.
O que é pedido: calcular o valor dessa integral definida entre os limites x=0 e x=2.
Informações relevantes dadas:
  • A variável de integração é x.
  • O intervalo de integração é [0,2].
  • A função integranda é \dfrac{x}{\sqrt{4+x^{2}}}.

Passo 2

Observação sobre a estrutura da integranda (por que isso importa).
  • Note que a parte de cima da fração é x e a parte dentro da raiz é 4+x^{2}. A derivada de x^{2} é 2x, ou seja, a presença de x\,dx combina bem com a derivada de 4+x^{2}.
  • Isso sugere usar a substituição do tipo u=4+x^{2}, porque com essa escolha o diferencial du ficará proporcional a x\,dx, o que vai simplificar a integral.
Explicação didática sobre a técnica de substituição:
  • A substituição u=u(x) serve para transformar uma integral em x numa integral em u mais simples, quando há uma parte do integrando que é a derivada (ou múltiplo da derivada) de outra parte.
  • Quando se faz essa substituição em integral definida, também se mudam os limites de integração: calcular u nos extremos de x.

Passo 3

Efetuar a substituição.
  • Seja \;u = 4 + x^{2}.
  • Então o diferencial é \;du = 2x\,dx, portanto \;x\,dx = \dfrac{1}{2}\,du.
  • Agora trocar os limites: quando x=0 tem-se \;u = 4 + 0^{2} = 4. Quando x=2 tem-se \;u = 4 + 2^{2} = 8.

Passo 4

Escrever a integral em termos de u.
  • Substituindo \;x\,dx = \dfrac{1}{2}\,du e \;4+x^{2}=u, obtemos
\int_{0}^{2} \frac{x}{\sqrt{4+x^{2}}}\,dx = \int_{u=4}^{u=8} \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int_{4}^{8} u^{-1/2}\,du.

Passo 5

Calcular a primitiva de u^{-1/2}.
  • Regra de potência para integrais: para p\neq -1,
\int u^{p}\,du = \frac{u^{p+1}}{p+1} + C.
  • Aqui p=-\tfrac{1}{2}, logo
\int u^{-1/2}\,du = \frac{u^{-1/2+1}}{-1/2+1} = \frac{u^{1/2}}{1/2} = 2u^{1/2}.
  • Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} que estava fora da integral, o antiderivado da expressão original em u é simplesmente u^{1/2}=\sqrt{u}.

Passo 6

Avaliar a integral definida usando a primitiva.
  • Usando a primitiva \sqrt{u} e os limites u=4 e u=8,
\frac{1}{2}\int_{4}^{8} u^{-1/2}\,du = \Big[\sqrt{u}\,\Big]_{4}^{8} = \sqrt{8}-\sqrt{4}.
  • Simplificando: \sqrt{8}=2\sqrt{2} e \sqrt{4}=2. Portanto
\sqrt{8}-\sqrt{4} = 2\sqrt{2}-2 = 2(\sqrt{2}-1).

Resposta

2(\sqrt{2}-1)

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