Resolva as seguintes integrais
\int(8 x-3)\left(4 x^{2}-3 x+1\right)^{5} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int(8 x-3)\left(4 x^{2}-3 x+1\right)^{5}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é o produto de 8x-3 por \left(4x^{2}-3x+1\right)^{5}.
  • Trata-se de uma integral indefinida (ou seja, devemos obter uma primitiva mais uma constante de integração).

Passo 2

Observação importante (sem resolver ainda): a parte \left(4x^{2}-3x+1\right) aparece elevada a uma potência inteira ( 5), e o fator multiplicativo 8x-3 é exatamente a derivada de 4x^{2}-3x+1. Vamos calcular essa derivada explicitamente para ficar claro:
\frac{d}{dx}\left(4x^{2}-3x+1\right)=8x-3.
Essa coincidência (o multiplicador ser a derivada do polinômio interno) é o sinal clássico de que a substituição simples u= (polinômio interno) vai funcionar muito bem.

Passo 3

Fazer a substituição (mudança de variável). Defina
u = 4x^{2}-3x+1.
Agora calcule o diferencial du. Pela regra da diferenciação,
du = \frac{d}{dx}\bigl(4x^{2}-3x+1\bigr)\,dx = (8x-3)\,dx.
Portanto podemos substituir (8x-3)\,dx por du. Isso transforma toda a integral em termos de u.

Passo 4

Reescrevendo a integral em u: como u=(4x^{2}-3x+1) e du=(8x-3)\,dx, temos
\int(8 x-3)\left(4 x^{2}-3 x+1\right)^{5}\,dx =\int u^{5}\,du.
Essa é uma integral de potência simples em u.

Passo 5

Regra de integração usada (aula rápida): a integral de uma potência é dada pela regra do expoente:
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C,
para qualquer n\neq -1. Aqui n=5, então aplicamos diretamente a regra com n=5.

Passo 6

Aplicando a regra ao caso u^{5}:
\int u^{5}\,du=\frac{u^{6}}{6}+C.

Passo 7

Voltar à variável x (retro-substituição): lembrando que u=4x^{2}-3x+1, obtemos a primitiva em x:
\frac{u^{6}}{6}+C=\frac{\left(4x^{2}-3x+1\right)^{6}}{6}+C.

Passo 8

Verificação rápida (checagem por diferenciação): calcular a derivada de \dfrac{\left(4x^{2}-3x+1\right)^{6}}{6} para confirmar que volta ao integrando.
\frac{d}{dx}\left(\frac{\left(4x^{2}-3x+1\right)^{6}}{6}\right) =\frac{6\left(4x^{2}-3x+1\right)^{5}\cdot(8x-3)}{6} =(8x-3)\left(4x^{2}-3x+1\right)^{5},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Passo 9

Resumo prático (dica para a prova): quando vir \int f'(x)\bigl(f(x)\bigr)^{n}\,dx, faça u=f(x) e du=f'(x)\,dx; resulta em \int u^{n}\,du que integra como \dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C. Isso economiza muito tempo.

Resposta

\frac{\left(4x^{2}-3x+1\right)^{6}}{6}+C

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