Resolva as seguintes integrais
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é o produto de
por . - Trata-se de uma integral indefinida (ou seja, devemos obter uma primitiva mais uma constante de integração).
Passo 2
Observação importante (sem resolver ainda): a parte
aparece elevada a uma potência inteira (
), e o fator multiplicativo
é exatamente a derivada de
. Vamos calcular essa derivada explicitamente para ficar claro:
Essa coincidência (o multiplicador ser a derivada do polinômio interno) é o sinal clássico de que a substituição simples
(polinômio interno) vai funcionar muito bem.
Passo 3
Fazer a substituição (mudança de variável). Defina
Agora calcule o diferencial
. Pela regra da diferenciação,
Portanto podemos substituir
por
. Isso transforma toda a integral em termos de
.
Passo 4
Reescrevendo a integral em
: como
e
, temos
Essa é uma integral de potência simples em
.
Passo 5
Regra de integração usada (aula rápida): a integral de uma potência é dada pela regra do expoente:
para qualquer
. Aqui
, então aplicamos diretamente a regra com
.
Passo 6
Aplicando a regra ao caso
:
Passo 7
Voltar à variável
(retro-substituição): lembrando que
, obtemos a primitiva em
:
Passo 8
Verificação rápida (checagem por diferenciação): calcular a derivada de
para confirmar que volta ao integrando.
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.
Passo 9
Resumo prático (dica para a prova): quando vir
, faça
e
; resulta em
que integra como
. Isso economiza muito tempo.