Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão é a função racional
. - O ponto onde o limite é pedido é
(vai para menos infinito).
Passo 2
Estratégia que vou usar (explicada de forma simples): quando
tende a infinito em uma função racional, os termos com maiores potências de
dominam o comportamento. Uma forma prática e segura é dividir numerador e denominador por uma potência de
conveniente (aqui vou dividir por
, que é a maior potência presente no denominador). Isso transforma a expressão em termos que tendem a zero quando
, exceto os termos dominantes, e facilita ver o comportamento do limite.
Passo 3
Divido numerador e denominador por
(válido para
; estamos preocupados com
então
é verdade no limite):
Passo 4
Agora analiso o comportamento das parcelas pequenas quando
:
- Para qualquer inteiro
vale quando . Intuitivamente, potências de no denominador crescem muito e fazem a fração ir a zero. - Assim
Portanto, na expressão simplificada temos
Passo 5
Agora basta observar o limite de
quando
:
porque multiplicar um número que vai para
por
continua indo para
.
Passo 6
Interpretação rápida e regra prática (útil para prova): aqui o grau do numerador é
e o do denominador é
. Como o grau do numerador é maior, o limite em infinito tem módulo infinito; o comportamento assintótico é dado pelo quociente dos coeficientes líderes vezes
, ou seja
. Para
isso dá
. Exemplo curto: se fosse
então se comportaria como
.