\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2 x^{5}-x}{x^{4}+3}\

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -\infty} \frac{2x^{5}-x}{x^{4}+3}.
Informações dadas:
  • A expressão é a função racional \dfrac{2x^{5}-x}{x^{4}+3}.
  • O ponto onde o limite é pedido é x\to -\infty (vai para menos infinito).

Passo 2

Estratégia que vou usar (explicada de forma simples): quando x tende a infinito em uma função racional, os termos com maiores potências de x dominam o comportamento. Uma forma prática e segura é dividir numerador e denominador por uma potência de x conveniente (aqui vou dividir por x^{4}, que é a maior potência presente no denominador). Isso transforma a expressão em termos que tendem a zero quando x\to\pm\infty, exceto os termos dominantes, e facilita ver o comportamento do limite.

Passo 3

Divido numerador e denominador por x^{4} (válido para x\neq0; estamos preocupados com x\to-\infty então x\neq0 é verdade no limite):
\frac{2x^{5}-x}{x^{4}+3} = \frac{x^{4}\bigl(2x - \dfrac{1}{x^{3}}\bigr)}{x^{4}\bigl(1 + \dfrac{3}{x^{4}}\bigr)} = \frac{2x - \dfrac{1}{x^{3}}}{1 + \dfrac{3}{x^{4}}}.

Passo 4

Agora analiso o comportamento das parcelas pequenas quando x\to -\infty:
  • Para qualquer inteiro n>0 vale \dfrac{1}{x^{n}}\to 0 quando x\to\pm\infty. Intuitivamente, potências de x no denominador crescem muito e fazem a fração ir a zero.
  • Assim
\frac{1}{x^{3}}\to 0\quad\text{e}\quad\frac{3}{x^{4}}\to 0\quad\text{quando }x\to -\infty.
Portanto, na expressão simplificada temos
\frac{2x - \dfrac{1}{x^{3}}}{1 + \dfrac{3}{x^{4}}} \longrightarrow \frac{2x - 0}{1 + 0} = 2x \quad\text{quando }x\to -\infty.

Passo 5

Agora basta observar o limite de 2x quando x\to -\infty:
\lim_{x\to -\infty} 2x = -\infty,
porque multiplicar um número que vai para -\infty por 2>0 continua indo para -\infty.

Passo 6

Interpretação rápida e regra prática (útil para prova): aqui o grau do numerador é 5 e o do denominador é 4. Como o grau do numerador é maior, o limite em infinito tem módulo infinito; o comportamento assintótico é dado pelo quociente dos coeficientes líderes vezes x^{5-4}=x, ou seja 2x. Para x\to -\infty isso dá -\infty. Exemplo curto: se fosse \dfrac{3x^{4}+\dots}{x^{2}+\dots} então se comportaria como 3x^{2}\to+\infty.

Resposta

-\infty

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