Resolva os seguintes problemas de valor inicial
y^{\prime}(x)-4 y=2 e^{x} \sqrt{y}, y(0)=2.

Passo 1

O problema é o valor inicial
y'(x)-4\,y(x)=2\,e^{x}\sqrt{y(x)},\quad y(0)=2.
Isso é uma equação de Bernoulli do tipo
y'+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n}
com P(x)=-4, Q(x)=2e^{x} e n=\tfrac12. Vamos usar a substituição padrão para Bernoulli.

Passo 2

Na equação
y'-4y=2e^{x}y^{1/2}
identificamos n=\tfrac12. A substituição é
u(x)=y(x)^{\,1-n}=y(x)^{1-\tfrac12}=y(x)^{1/2},
isto é, u=\sqrt{y}. Precisamos também de u' em termos de y e y':
u'=\frac{d}{dx}(y^{1/2})=\frac12\,y^{-1/2}y'=\frac{y'}{2\sqrt{y}}.

Passo 3

Isolando y' da equação original e dividindo por \sqrt{y}, temos
y'=4y+2e^{x}\sqrt{y} \quad\Longrightarrow\quad \frac{y'}{\sqrt{y}}=4\sqrt{y}+2e^{x}.
Mas \frac{y'}{\sqrt{y}}=2u'. Logo
2u'=4u+2e^{x} \quad\Longrightarrow\quad u'-2u=e^{x}.
Agora obtemos uma equação linear de primeira ordem em u.

Passo 4

A equação linear
u'-2u=e^{x}
tem fator integrante
\mu(x)=e^{-\int2\,dx}=e^{-2x}.
Multiplicando a equação por \mu,
e^{-2x}u' -2e^{-2x}u = e^{-2x}e^{x}=e^{-x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(u\,e^{-2x}\bigr)=e^{-x}.

Passo 5

Integramos em x:
u\,e^{-2x}=\int e^{-x}\,dx=-e^{-x}+C,
onde C é constante de integração. Portanto
u(x)=-e^{-x}e^{2x}+C\,e^{2x} = -e^{x}+C e^{2x}.

Passo 6

Voltando a y, recall u=\sqrt{y}, então
\sqrt{y}=C e^{2x}-e^{x} \quad\Longrightarrow\quad y(x)=\bigl(C e^{2x}-e^{x}\bigr)^{2}.
Falta ajustar C pela condição inicial y(0)=2.

Passo 7

Em x=0,
y(0)=\bigl(C\cdot1 -1\bigr)^{2}=(C-1)^{2}=2 \quad\Longrightarrow\quad C-1=\pm\sqrt{2}.
Como \sqrt{y} = u deve ser contínuo e coincide com +\sqrt{2} em x=0, escolhemos
C-1=+\sqrt{2} \quad\Longrightarrow\quad C=1+\sqrt{2}.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
\boxed{y(x)=\bigl((1+\sqrt{2})e^{2x}-e^{x}\bigr)^{2}}.

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