Resolva os seguintes problemas de valor inicial
.
Passo 1
O problema é o valor inicial
Isso é uma equação de Bernoulli do tipo
com
,
e
. Vamos usar a substituição padrão para Bernoulli.
Passo 2
Na equação
identificamos
. A substituição é
isto é,
. Precisamos também de
em termos de
e
:
Passo 3
Isolando
da equação original e dividindo por
, temos
Mas
. Logo
Agora obtemos uma equação linear de primeira ordem em
.
Passo 4
A equação linear
tem fator integrante
Multiplicando a equação por
,
Passo 5
Integramos em
:
onde
é constante de integração. Portanto
Passo 6
Voltando a
, recall
, então
Falta ajustar
pela condição inicial
.
Passo 7
Em
,
Como
deve ser contínuo e coincide com
em
, escolhemos
Resposta
A solução do problema de valor inicial é