\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{2}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{2}.
Informações dadas: a função em questão é f(x)=\frac{x}{2}. A variável x tende para +\infty (vai para valores muito grandes positivos). A pergunta é: para que valor (finito ou infinito) a expressão \frac{x}{2} tende quando x cresce sem limite?

Passo 2

Vamos entender a expressão: \frac{x}{2} é uma função linear de x. Podemos escrever
\frac{x}{2}=\frac{1}{2}\,x.
Isto significa que conforme x cresce, \frac{x}{2} também cresce proporcionalmente, com fator \frac{1}{2}.

Passo 3

Intuição matemática simples: se x vai para +\infty, então qualquer múltiplo positivo de x também vai para +\infty. Como \frac{1}{2}>0, multiplicar x por \frac{1}{2} não altera o comportamento “tender a infinito” — apenas reduz a velocidade, mas continua indo para +\infty.

Passo 4

Para ser mais rígido, uso a definição de limite quando a função tende a +\infty: dizer que
\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty
significa que, para todo M>0, existe X tal que, para todo x>X, vale f(x)>M.

Passo 5

Aplico essa definição a f(x)=\frac{x}{2}. Dado um M>0 qualquer, quero escolher X de modo que, se x>X, então \frac{x}{2}>M.

Passo 6

Resolver a desigualdade \frac{x}{2}>M:
\frac{x}{2}>M \quad\Longleftrightarrow\quad x>2M.
Portanto, escolhendo X=2M, garantimos que todo x>X satisfaz \frac{x}{2}>M. Como isso é possível para todo M>0, a definição de limite para +\infty é satisfeita.

Passo 7

Conclusão: a função \frac{x}{2} cresce sem limite quando x\to+\infty, portanto
\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{2}=+\infty.

Resposta

+\infty

Exercícios relacionados