\lim _{x \rightarrow 0}(1-3 x)^{2 / x}=

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o limite
\lim_{x\to 0}(1-3x)^{2/x}.
Informações dadas:
  • A função é (1-3x)^{2/x}.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
  • Não há valores numéricos adicionais nem figura; só precisamos avaliar esse limite.

Passo 2

Identificamos a forma indeterminada. Ao substituir x=0 diretamente, a base tende a 1 e o expoente tende a +\infty ou -\infty dependendo da aproximação (pois \frac{2}{x} diverge). Logo temos uma forma do tipo 1^{\infty}, que é indeterminada. Para lidar com isso, uma técnica padrão é tomar o logaritmo natural da expressão e transformar o problema em um limite de uma expressão mais tratável.

Passo 3

Definimos
L=\lim_{x\to 0}(1-3x)^{2/x}.
Se existir \lim_{x\to 0}\ln\big((1-3x)^{2/x}\big) finito e igual a A, então, pela continuidade da exponencial, teremos L=e^{A}. Vamos calcular A=\lim_{x\to 0}\ln\big((1-3x)^{2/x}\big).

Passo 4

Usamos a propriedade do logaritmo \ln(a^b)=b\ln a. Assim,
\ln L = \lim_{x\to 0}\frac{2}{x}\ln(1-3x).
Agora precisamos calcular esse limite.

Passo 5

Para simplificar, escrevemos a expressão de forma a mostrar o limite conhecido \lim_{t\to 0}\dfrac{\ln(1+t)}{t}=1. Observe que
\frac{2}{x}\ln(1-3x) =2\cdot\frac{\ln(1-3x)}{x} =2\cdot\left(\frac{\ln(1-3x)}{-3x}\right)(-3) =-6\cdot\frac{\ln(1-3x)}{-3x}.
Agora note que, ao fazer a mudança t=-3x, quando x\to 0 temos t\to 0, e
\frac{\ln(1-3x)}{-3x}=\frac{\ln(1+t)}{t}.

Passo 6

Usamos o limite fundamental (que pode ser mostrado por L’Hôpital ou pela expansão em série):
\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.
Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1-3x)}{-3x}=1.

Passo 7

Voltando à expressão para \ln L:
\ln L = \lim_{x\to 0}\left(-6\cdot\frac{\ln(1-3x)}{-3x}\right) = -6\cdot 1 = -6.

Passo 8

Como \ln L = -6, obtemos
L = e^{-6}.
Logo o limite pedido existe e vale e^{-6}. Pequena motivação: essa técnica (log-transform) é padrão para formas 1^{\infty}; outra via seria expandir \ln(1-3x) em série \ln(1-3x)=-3x+o(x) e obter o mesmo resultado.

Resposta

e^{-6}

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