Passo 1
O enunciado pede que calculemos o limite
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto de interesse é
. - Não há valores numéricos adicionais nem figura; só precisamos avaliar esse limite.
Passo 2
Identificamos a forma indeterminada. Ao substituir
diretamente, a base tende a
e o expoente tende a
ou
dependendo da aproximação (pois
diverge). Logo temos uma forma do tipo
, que é indeterminada. Para lidar com isso, uma técnica padrão é tomar o logaritmo natural da expressão e transformar o problema em um limite de uma expressão mais tratável.
Passo 3
Definimos
Se existir
finito e igual a
, então, pela continuidade da exponencial, teremos
. Vamos calcular
.
Passo 4
Usamos a propriedade do logaritmo
. Assim,
Agora precisamos calcular esse limite.
Passo 5
Para simplificar, escrevemos a expressão de forma a mostrar o limite conhecido
. Observe que
Agora note que, ao fazer a mudança
, quando
temos
, e
Passo 6
Usamos o limite fundamental (que pode ser mostrado por L’Hôpital ou pela expansão em série):
Portanto
Passo 7
Voltando à expressão para
:
Passo 8
Como
, obtemos
Logo o limite pedido existe e vale
. Pequena motivação: essa técnica (log-transform) é padrão para formas
; outra via seria expandir
em série
e obter o mesmo resultado.