Em uma sala de aula cada aluno faz aniversário em um dia do mês, não importando que mês for. Se esta sala possui 32 alunos, então é correto afirmar que
A)nenhum aluno fará aniversário no mesmo dia.
B)todos os alunos farão aniversário no mesmo dia.
C)somente 3 alunos farão aniversário no mesmo dia.
D)pelo menos 2 alunos farão aniversário no mesmo dia.
E)o professor fará aniversário no mesmo dia de, pelo menos, 4 alunos.

Passo 1

O enunciado dá uma sala com \,32 alunos e diz que cada aluno tem aniversário em um dia do mês (ou seja, cada aniversário corresponde a um dos dias possíveis de um mês). Pergunta: qual das alternativas A–E é correta (ou seja, necessariamente verdadeira) dadas essas informações?
Informações relevantes do enunciado:
  • \,32 alunos na sala.
  • Cada aniversário ocorre em algum dia do mês, portanto o conjunto possível de dias é formado por, no máximo, \,31 dias distintos (do dia 1 ao dia 31).
  • Queremos saber qual afirmação é logicamente obrigatória dadas essas quantidades.

Passo 2

Vamos traduzir o problema para uma linguagem mais clara e simples, sem resolver ainda: temos objetos (os \,32 alunos) que são distribuídos em caixas (os dias do mês). Cada aluno “vai” para a caixa correspondente ao dia do seu aniversário. Pergunta prática: com \,32 objetos e no máximo \,31 caixas, o que pode ser garantido sobre a ocupação das caixas?

Passo 3

Apresento o princípio que usamos aqui (explico como se eu estivesse do seu lado na prova): se você tem mais objetos do que caixas, então alguma caixa precisa receber pelo menos dois objetos. Intuitivamente: se cada caixa recebesse no máximo um objeto, o número total de objetos não poderia ultrapassar o número de caixas. Formalmente, se houver \,n objetos e \,d caixas com \,n>d, não é possível atribuir todos os objetos deixando cada caixa com no máximo um objeto — sobra pelo menos um objeto — logo existe alguma caixa com pelo menos dois objetos.

Passo 4

Agora aplicando ao nosso caso concreto: os “objetos” são os \,32 alunos e as “caixas” são os \,31 dias possíveis. Como \,32>31, pela ideia do passo anterior alguma caixa (algum dia do mês) conterá pelo menos dois alunos. Podemos também escrever isso com uma pequena conta de teto (só para reforçar): pelo princípio das caixas, existe um dia com pelo menos
\left\lceil \frac{32}{31} \right\rceil = 2
alunos. Ou seja, pelo menos dois alunos fazem aniversário no mesmo dia.

Passo 5

Agora verifico cada alternativa para justificar por que a correta é apenas uma delas:
  • A) “nenhum aluno fará aniversário no mesmo dia.” — falso, porque já vimos que com \,32 alunos e \,31 dias é impossível que todos tenham dias distintos.
  • B) “todos os alunos farão aniversário no mesmo dia.” — falso; isso poderia acontecer em um caso particular, mas não é uma consequência obrigatória dos números. O enunciado pede a afirmação correta que sempre vale, e essa não vale sempre.
  • C) “somente 3 alunos farão aniversário no mesmo dia.” — falso; nada nos garante exatamente 3 em um mesmo dia (poderiam ser 2, ou 4, etc.). A palavra “somente” torna a afirmação não necessariamente verdadeira.
  • D) “pelo menos 2 alunos farão aniversário no mesmo dia.” — verdadeiro, é exatamente o que o princípio das caixas garante para \,32 objetos em \,31 caixas.
  • E) “o professor fará aniversário no mesmo dia de, pelo menos, 4 alunos.” — falso; o enunciado não relaciona o aniversário do professor com os alunos e não há elemento que force pelo menos 4 coincidências com o professor.

Passo 6

Resumo final de raciocínio para gravar na prova: com mais pessoas do que dias possíveis, por simples contagem existe pelo menos um dia repetido entre as aniversariantes. Em números: \,32 pessoas distribuídas em \,31 dias implica que algum dia recebe pelo menos \left\lceil \frac{32}{31}\right\rceil = 2 pessoas. Portanto a alternativa correta é a que afirma essa garantia.

Resposta

D) pelo menos 2 alunos farão aniversário no mesmo dia.

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