Questão
. Seja
um anel comutativo com identidade. Mostre que o conjunto
é um sistema multiplicativo em
se, e somente se,
é ideal primo.
Passo 1
O enunciado diz que
é um anel comutativo com unidade e que
é um ideal. Definimos
Queremos mostrar a equivalência entre
-
ser um sistema multiplicativo, isto é,
-
, - se
então .
-
ser um ideal primo, isto é,
-
, - sempre que
em , então ou .
Passo 2
Suponha que
é primo. Primeiro, como
é ideal próprio,
e logo
.
Agora, tome . Então
e
. Se por absurdo
, a primalidade de
implicaria
ou
, contradizendo
. Logo
, isto é,
. Isso mostra que
é multiplicativo.
Agora, tome
Passo 3
Suponha agora que
é um sistema multiplicativo. Em particular,
, logo
e
.
Para verificar a primalidade de , seja
. Então
. Se fosse o caso de
e
, teríamos
pela multiplicatividade, contradição. Assim, pelo menos um de
não está em
, ou seja,
ou
. Portanto
é primo.
Para verificar a primalidade de
Resposta
Mostramos que
é primo se, e somente se,
é um sistema multiplicativo em
.