Questão 5(2,0). Seja A um anel comutativo com identidade. Mostre que o conjunto S=\{a \in A: a \notin P\} é um sistema multiplicativo em A se, e somente se, P \subset A é ideal primo.

Passo 1

O enunciado diz que A é um anel comutativo com unidade e que P\subset A é um ideal. Definimos
S = \{\,a\in A : a\notin P\}.
Queremos mostrar a equivalência entre
  1. S ser um sistema multiplicativo, isto é,
  • \,1\in S,
  • se x,y\in S então xy\in S.
  1. P ser um ideal primo, isto é,
  • P\neq A,
  • sempre que xy\in P em A, então x\in P ou y\in P.

Passo 2

Suponha que P é primo. Primeiro, como P é ideal próprio, 1\notin P e logo 1\in S.
Agora, tome x,y\in S. Então x\notin P e y\notin P. Se por absurdo xy\in P, a primalidade de P implicaria x\in P ou y\in P, contradizendo x,y\notin P. Logo xy\notin P, isto é, xy\in S. Isso mostra que S é multiplicativo.

Passo 3

Suponha agora que S é um sistema multiplicativo. Em particular, 1\in S, logo 1\notin P e P\neq A.
Para verificar a primalidade de P, seja xy\in P. Então xy\notin S. Se fosse o caso de x\in S e y\in S, teríamos xy\in S pela multiplicatividade, contradição. Assim, pelo menos um de x,y não está em S, ou seja, x\in P ou y\in P. Portanto P é primo.

Resposta

Mostramos que P é primo se, e somente se, S=A\setminus P é um sistema multiplicativo em A.

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