Utilizando os polinômios de Taylor das funções envolvidas, calcule os seguintes limites:
lim x 0 ln (1+x)-ln (1-x)x

Passo 1

A gente quer calcular o limite limxto0 ln(1+x)-ln(1-x)x. O conteúdo aqui é usar séries de Taylor para aproximar ln(1+u) perto de u=0 e, a partir daí, simplificar o quociente.

Passo 2

Vamos lembrar que a série de Taylor de ln(1+u) em torno de u=0 é, até a ordem cúbica:
ln(1+u) = u - u^22 + u^33 + O(u^4)
Isso significa que, para u pequeno, a gente pode aproximar ln(1+u) por esses primeiros termos.

Passo 3

Agora aplicamos essa expansão para u = x e para u = -x.
Para ln(1+x):
ln(1+x) = x - x^22 + x^33 + O(x^4),
Para ln(1-x):
ln(1-x) = -x - x^22 - x^33 + O(x^4)
Subtraindo essas duas séries:
ln(1+x)-ln(1-x) = l(x - (-x)r) + (-x^22 - l(-x^22r)) + (x^33 - l(-x^33r)) + O(x^4)
Isso simplifica para
ln(1+x)-ln(1-x) = 2x + 2x^33 + O(x^4)

Passo 4

Agora dividimos pelo x e analisamos o limite:
ln(1+x)-ln(1-x)x = 2x + tfrac2x^33 + O(x^4)x = 2 + 2x^23 + O(x^3)
Quando x to 0, todos os termos que têm x vão para zero, ficando apenas 2.

Resposta

2

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