Utilize, caso necessário, a regra de L’Hôpital para obter:
lim x pi / 2 ln (sen x)x-pi2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto pi2ln(sin x)x-pi2
usando, se necessário, a regra de L’Hôpital. Este é um problema de limites de funções que levam a uma forma indeterminada tfrac00, e por isso a regra de L’Hôpital será útil.

Passo 2

Verificamos o comportamento das partes: quando xto tfracpi2, temos sin xto1, logo
ln(sin x)toln(1)=0,
e claramente x-tfracpi2to0. Isso nos dá a forma indeterminada
00,
portanto podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que
limxto af(x)g(x) =limxto af'(x)g'(x)
quando f(a)=g(a)=0.

Passo 3

Calculamos as derivadas de numerador e denominador:
  • f(x)=ln(sin x) Rightarrow f'(x)=ddxln(sin x) =1sin xcdotcos x =cot x
  • g(x)=x-tfracpi2 Rightarrow g'(x)=1
Pela regra de L’Hôpital, o limite torna-se
limxto pi2f'(x)g'(x) =limxto pi2cot x

Passo 4

Basta agora avaliar
limxto pi2cot x =cot!l(tfracpi2r) =0,
pois cot y=cos ysin y e cos(tfracpi2)=0, sin(tfracpi2)=1.

Resposta

0

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