Utilize, caso necessário, a regra de L’Hôpital para obter:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Estamos estudando limites envolvendo exponencial que cresce muito rápido comparada a potências. Para resolver, vamos usar a regra de L’Hôpital, mas primeiro precisamos colocar a expressão num quociente cuja parte de baixo também tenda a
.
Passo 2
Note que, quando
, temos
e
. Então podemos reescrever
o que é do tipo
e permite aplicar L’Hôpital.
Passo 3
Aplicando L’Hôpital uma vez, derivamos numerador e denominador em relação a
:
d( numerador )/dx d\bigl(
\bigr)/dx
,
d( denominador )/dx d\bigl(
/
\bigr)/dx
.
Portanto o limite vira
d( numerador )/dx
d( denominador )/dx
Portanto o limite vira
Passo 4
Agora temos
, que é do tipo
. Para usar L’Hôpital de novo, escrevemos como quociente
pois
. Assim chegamos a um novo tipo
.
Passo 5
Aplicando L’Hôpital pela segunda vez a
:
derivada do numerador ,
derivada do denominador .
Logo o limite é
derivada do numerador
derivada do denominador
Logo o limite é
Passo 6
Como após duas aplicações de L’Hôpital obtivemos
, concluímos que o limite original também diverge para
.