Utilize, caso necessário, a regra de L’Hôpital para obter:
lim x 0^+ e^1 / xx^2

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto0^+e^1/xx^2
Estamos estudando limites envolvendo exponencial que cresce muito rápido comparada a potências. Para resolver, vamos usar a regra de L’Hôpital, mas primeiro precisamos colocar a expressão num quociente cuja parte de baixo também tenda a +infty.

Passo 2

Note que, quando xto0^+, temos ,e^1/xto+infty e ,1/x^2to+infty. Então podemos reescrever
e^1/xx^2 =e^1/x,1/x^2,,
o que é do tipo infty/infty e permite aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital uma vez, derivamos numerador e denominador em relação a x:
d( numerador )/dx = d\bigl( e^1/x\bigr)/dx = -1x^2 e^1/x,
d( denominador )/dx = d\bigl( 1/ x^2\bigr)/dx = -2x^3.
Portanto o limite vira
limxto0^+ e^1/x,1/x^2, =limxto0^+ -1x^2,e^1/x-2x^3 =limxto0^+ e^1/x1cdotx^32,x^2 =limxto0^+x2,e^1/x

Passo 4

Agora temos x2,e^1/x, que é do tipo 0cdotinfty. Para usar L’Hôpital de novo, escrevemos como quociente
x2,e^1/x1 Longrightarrow e^1/x2/x,
pois x2 = 12/x. Assim chegamos a um novo tipo infty/infty.

Passo 5

Aplicando L’Hôpital pela segunda vez a
e^1/x2/x:
derivada do numerador = -tfrac1x^2 e^1/x,
derivada do denominador = -tfrac2x^2.
Logo o limite é
limxto0^+ -1x^2,e^1/x-2x^2 =limxto0^+e^1/x2 =+infty

Passo 6

Como após duas aplicações de L’Hôpital obtivemos +infty, concluímos que o limite original também diverge para +infty.

Resposta

limxto0^+e^1/xx^2=+infty

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