lim n infty(2+1n)^n converge?
10. lim y pi^-2 sen y-1cos y converge?

Passo 1

O enunciado pede para estudar dois limites:
1. limntoinftyl(2+tfrac1nr)^n – aqui o conteúdo é reconhecer um crescimento exponencial via substituição em função logarítmica.
2. limytopi^-2sin y -1cos y – aqui temos uma forma indeterminada 0/0 e podemos usar a regra de L’Hôpital ou uma expansão em série.

Passo 2

Para limntoinftyl(2+tfrac1nr)^n escrevemos
l(2+tfrac1nr)^n = expl(nlnl(2+tfrac1nr)r)
Como ntoinfty, usamos a expansão
lnl(2+tfrac1nr) = ln2 + ln!l(1+tfrac12nr) = ln2 + 12n + o!l(tfrac1nr)
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nlnl(2+tfrac1nr) = nln2 + tfrac12 + o(1)
e
l(2+tfrac1nr)^n = expl(nln2 + tfrac12 + o(1)r) = 2^n ,e^1/2,(1+o(1))

Passo 3

Como 2^ntoinfty, concluímos que
limntoinftyl(2+tfrac1nr)^n = +infty,
ou seja, o limite diverge.

Passo 4

Para limytopi^-2sin y -1cos y temos forma 0/0. Aplicando L’Hôpital:
ddy(sin y -1)=cos y, ddy(cos y)=-sin y,
então
limytopi^-2sin y -1cos y = limytopi^-2cos y-sin y = 0-1 = 0

Resposta

  1. limntoinftyl(2+tfrac1nr)^n = +infty (diverge).
  2. limytopi^-2sin y -1cos y = 0.

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