Utilize, caso necessário, a regra de L’Hôpital para obter:
lim x +infty sen(1 / x)arctg(1 / x)

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto+inftysin(1/x)arctan(1/x).
Este limite apresenta a forma indeterminada 00, pois quando xto+infty temos 1/xto0, implicando sin(1/x)to0 e arctan(1/x)to0. Vamos, ent~ao, usar a regra de L’Hopital para resolv’e-lo.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada:
como xto+infty, 1/xto0, logo
sin(1/x)tosin(0)=0 e arctan(1/x)toarctan(0)=0.
Portanto `e leg’itimo aplicar a regra de L’Hopital.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador em rela\c{c}~ao a x:
ddxsin(1/x) = cos(1/x),ddxl(1/xr) = cos(1/x),l(-tfrac1x^2r),
ddxarctan(1/x) = 11+(1/x)^2,ddxl(1/xr) = 11+tfrac1x^2,l(-tfrac1x^2r)
Pela regra de L’Hopital,
limxto+inftysin(1/x)arctan(1/x) =limxto+infty cos(1/x),(-tfrac1x^2) dfrac11+tfrac1x^2,(-tfrac1x^2) =limxto+inftycos(1/x),l(1+tfrac1x^2r)

Passo 4

Agora basta avaliar
limxto+inftycos(1/x),(1+1/x^2).
Quando xto+infty, 1/xto0 implica cos(1/x)tocos(0)=1 e 1+1/x^2to1.
Logo o limite é 1.

Resposta

1

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