Responda os itens abaixo:
Seja f(x)=|3 x-2|2-3 x definida em R-23.
Calcule lim x 23^+ f(x), lim x 23^- f(x), lim x 23 f(x)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=|3x-2|2-3x
em Rsetminustfrac23 e pede os limites quando xtotfrac23^+, xtotfrac23^- e xtotfrac23. Vamos usar a definição de valor absoluto para reescrever f(x) em dois ramos (acima e abaixo de x=tfrac23) e então calcular cada limite.

Passo 2

Determinamos o sinal de 3x-2 perto de x=tfrac23:
  • Se x>tfrac23, então 3x-2>0 e |3x-2|=3x-2.
  • Se x<tfrac23, então 3x-2<0 e |3x-2|=-(3x-2)=2-3x.

Passo 3

Para xtotfrac23^+ usamos |3x-2|=3x-2. Então
f(x)=3x-22-3x=3x-2-(3x-2)=-1
Como essa expressão é constante igual a -1 para x próximo e maior que tfrac23, temos
limxtotfrac23^+f(x)=-1

Passo 4

Para xtotfrac23^- usamos |3x-2|=2-3x. Então
f(x)=2-3x2-3x=1
Como essa expressão é constante igual a 1 para x próximo e menor que tfrac23, temos
limxtotfrac23^-f(x)=1

Passo 5

Os limites laterais são diferentes ( 1 de um lado e -1 do outro), logo não existe o limite bilateral em x=tfrac23.

Resposta

limxtotfrac23^+f(x)=-1, limxtotfrac23^-f(x)=1, limxtotfrac23f(x) não existe.

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