Sejam
dois campos vetoriais e
um campo escalar. Prove que:
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, em cálculo vetorial, que para um campo escalar
e um campo vetorial
vale a identidade
Para isso vamos usar a definição de
(curl), de
(gradiente) e a regra do produto para derivadas parciais.
Passo 2
Escrevendo
, temos
e, pela definição de curl,
Passo 3
Calculemos o primeiro componente usando a regra do produto:
Agrupando termos:
O primeiro parêntese é
varphi(rotvec F)1 e o segundo é
(gradvarphitimesvec F)1 .
Passo 4
Analogamente, para o segundo componente:
que coincide com
varphi(rotvec F)2+(gradvarphitimesvec F)2 .
Passo 5
E para o terceiro componente:
que é
varphi(rotvec F)3+(gradvarphitimesvec F)3 .
Passo 6
Juntando os três componentes vemos exatamente