Sejam F, G: U subset R^3 R^3 dois campos vetoriais e varphi: U R um campo escalar. Prove que:
rot(varphi F)=varphi rot F+grad varphi times F.

Passo 1

O enunciado pede para provar, em cálculo vetorial, que para um campo escalar varphi:Usubset R^3to R e um campo vetorial vec F:Uto R^3 vale a identidade
rot(varphivec F) = varphi,rotvec F + gradvarphi timesvec F
Para isso vamos usar a definição de rot (curl), de grad (gradiente) e a regra do produto para derivadas parciais.

Passo 2

Escrevendo F = (F1, F2, F3), temos
varphi F = (varphi F1,; varphi F2,; varphi F3)
e, pela definição de curl,
rot(varphi F) = partialpartial y(varphi F3) - partialpartial z(varphi F2) [1em] partialpartial z(varphi F1) - partialpartial x(varphi F3) [1em] partialpartial x(varphi F2) - partialpartial y(varphi F1) ]

Passo 3

Calculemos o primeiro componente usando a regra do produto:
(rot(varphivec F))1 = partial(varphi F3)partial y - partial(varphi F2)partial z = partialvarphipartial yF3 +varphipartial F3partial y -l(partialvarphipartial zF2 +varphipartial F2partial zr)
Agrupando termos:
(rot(varphivec F))1 = varphil(partial F3partial y-partial F2partial zr) + l(partialvarphipartial yF3-partialvarphipartial zF2r)
O primeiro parêntese é varphi(rotvec F)1 e o segundo é (gradvarphitimesvec F)1.

Passo 4

Analogamente, para o segundo componente:
(rot(varphivec F))2 = partial(varphi F1)partial z - partial(varphi F3)partial x = varphil(partial F1partial z-partial F3partial xr) + l(partialvarphipartial zF1-partialvarphipartial xF3r),
que coincide com varphi(rotvec F)2+(gradvarphitimesvec F)2.

Passo 5

E para o terceiro componente:
(rot(varphivec F))3 = partial(varphi F2)partial x - partial(varphi F1)partial y = varphil(partial F2partial x-partial F1partial yr) + l(partialvarphipartial xF2-partialvarphipartial yF1r),
que é varphi(rotvec F)3+(gradvarphitimesvec F)3.

Passo 6

Juntando os três componentes vemos exatamente
rot(varphivec F) = varphi,rotvec F + gradvarphi timesvec F

Resposta

rot(varphivec F) = varphi,rotvec F + gradvarphi timesvec F

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