Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando $ z $ se aproxima de 8 da expressão
. Isso tá dentro do assunto de Cálculo de Limites, onde a gente estuda o comportamento de funções quando a variável chega perto de um certo valor. Para resolver isso, vamos precisar saber como simplificar frações e aplicar algumas regras básicas de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir $ z = 8 $ na expressão para ver o que acontece:
A gente se depara com uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $. Isso significa que não dá pra concluir nada só com essa substituição direta. Então, o próximo passo é simplificar a expressão.
Passo 3
Vamos simplificar o numerador, que é um polinômio quadrático: $ 2 z^{2} - 17 z + 8 $. Para fatorar, procuramos dois números que, quando multiplicados, resultem em $ 2 \times 8 = 16 $ e, quando somados, dêem
. Esses números são
e
.
Reescrevendo o polinômio:
Agora, vamos agrupar:
Fatorando o que está em comum:
Então, o numerador fatorado é $ (2 z - 1)(z - 8) $.
Passo 4
Substituímos de volta na expressão original:
Perceba que $ z - 8 = -(8 - z) $. Então, podemos reescrever:
Os termos $ 8 - z $ se cancelam, ficando:
Agora, é só substituir $ z = 8 $:
Resposta
O limite é $ -15 $.