Sabendo que, para n=0,1,2, ldots,
f^(n)(x)=2(-1)^n n!x^n+1
Use o polinômio de Taylor de terceiro grau para aproximar f(3)

Passo 1

O enunciado pede para aproximar o valor de f(3) usando o polinômio de Taylor de grau 3 para a função definida por f^(n)(x)=2(-1)^nn!x^n+1. Vamos usar o ponto de expansão a=2 (escolha vantajosa pois 3-2=1 facilita os cálculos). Precisaremos da fórmula de Taylor de grau 3 e dos valores de f(a) e suas derivadas até a terceira ordem em x=a.

Passo 2

A fórmula do polinômio de Taylor de grau 3 em torno de x=a é
P3(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)2!(x-a)^2+f'''(a)3!(x-a)^3

Passo 3

Usando a fórmula geral das derivadas em x=2:
f(2)=22=1, f'(2)=2(-1)^1,1!2^2=-12,
f''(2)=2(-1)^2,2!2^3=48=12, f'''(2)=2(-1)^3,3!2^4=-1216=-34

Passo 4

Substituindo em P3(x) e avaliando em x=3 (onde x-a=1) fica
P3(3)=1+l(-tfrac12r)cdot1+tfrac122!,1^2+(-tfrac34)3!,1^3

Passo 5

Calculando termo a termo:
P3(3)=1-0.5+0.52-0.756=1-0.5+0.25-0.125=0.625

Resposta

A aproximação de f(3) pelo polinômio de Taylor de grau 3 em torno de x=2 é 0,625.

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