Seja a equação diferencial seguinte :
a. Résolver a equação homogenea associada a
.
b. Achar uma solução particular de
(justificar a resposta), e dar a solução geral de
.
c. Achar a unica solução
de
tal que
e
.
d. Seja
uma função duas vezes derivaveis em
tal que :
(i) Seja
, verificar que
é solução de
.
(ii) Achar
.
b. Achar uma solução particular de
c. Achar a unica solução
d. Seja
(ii) Achar
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
. É um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar: (i) resolver a homogênea associada, (ii) achar uma solução particular via método dos coeficientes determinados, (iii) montar a solução geral, (iv) impor condições de contorno para achar a solução única
, (v) usar a mudança de variável
para relacionar
e a função
.
Passo 2
Para a homogênea
montamos a equação característica
As raízes são
$$y_h(x)=e^{-x}\bigl(C_1\cos(\sqrt3x)+C_2\sin(\sqrt3x)\bigr).
$$
Passo 3
Como o termo não-homogêneo é
e
não é raiz da característica, usamos o palpite
$$y_p=e^x(Ax+B).
$$
Passo 4
A solução geral de
é a soma da homogênea com a particular:
$$y(x)=y_h(x)+y_p(x)=e{-x}\bigl(C_1\cos(\sqrt3x)+C_2\sin(\sqrt3x)\bigr)+ex\Bigl(\frac{x}{7}-\frac{4}{49}\Bigr).
$$
Passo 5
Para achar a única solução
com
e
, impomos em
:
- Em
: ⇒ . - Em
:$$e^{-1}\bigl(C_1\cos\sqrt3+C_2\sin\sqrt3\bigr)+e\frac{3}{49}=0 C_2=\frac{-3e^2/49-(53/49)\cos\sqrt3}{\sin\sqrt3}.$$
Dessa formafica totalmente determinado.
Passo 6
Para (d)(i), definimos
. Calculamos
$$g’(x)=e^x f’(e^x),\qquad g’’(x)=e{2x}f’’(ex)+exf’(ex).
$$
que é exatamente .
que é exatamente
Passo 7
Para (d)(ii), concluímos que a solução geral de
é
$$g(x)=e{-x}\bigl(A\cos(\sqrt3x)+B\sin(\sqrt3x)\bigr)+ex\Bigl(\frac{x}{7}-\frac{4}{49}\Bigr).
$$
Resposta
a) A homogênea associada é
$$y_h(x)=e^{-x}\bigl(C_1\cos(\sqrt3x)+C_2\sin(\sqrt3x)\bigr).
$$
com constantes .
com constantes