O que é o limite de uma função f quando x tende a um ponto a ? Esse valor sempre existe? Se existir, o que significa?

Passo 1

A questão pede para entender o conceito de limite de uma função quando a variável se aproxima de um ponto, verificar se esse valor sempre existe e interpretar o que significa quando ele existe.

Passo 2

A definição formal (epsilon-delta) do limite diz: dizemos que limxto af(x)=L se, para todo varepsilon>0, existe de0 tal que, sempre que 0<|x-a|, então |f(x)-L|.

Passo 3

Nem sempre o limite existe. Para existir, as aproximações da função pela esquerda e pela direita de a devem convergir ao mesmo valor L. Se houver descontinuidade “quebra” no gráfico, oscilações infinitas ou comportamento divergente, o limite não existe.

Passo 4

Quando o limite existe e é igual a L, significa que podemos fazer f(x) tão próximo de L quanto quisermos simplesmente tomando x suficientemente perto (porém diferente) de a. Em outras palavras, o valor de f(x) “se aproxima” de L à medida que x se aproxima de a.

Resposta

O limite de f(x) quando x tende a a é o valor L tal que, para qualquer distância arbitrariamente pequena de L, existe uma vizinhança de a que leva f(x) para dentro dessa distância. Esse valor nem sempre existe (depende de comportamentos distintos pelas laterais ou de divergências). Se existe, ele expressa a tendência de f(x) aproximar-se de L conforme x se aproxima de a.

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