Seja R a região limitada verticalmente por z=0 e 2 z=\sqrt{4-r^{2}}, e lateralmente por x^{2}+y^{2}=2 y. Calcule seu volume.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região R limitada verticalmente por z=0 e por
2z=\sqrt{4-r^2}
e lateralmente pelo cilindro
x^2+y^2=2y.
É um problema de volume que resolvemos em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

A projeção de R no plano xy vem de
x^2+y^2=2y\;\Longrightarrow\;r^2=2r\sin\theta\;\Longrightarrow\;r=2\sin\theta.
Como \sin\theta\ge0, temos
0\le\theta\le\pi,\quad 0\le r\le2\sin\theta.

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas o volume é
V=\iint_{D}\int_{z=0}^{\frac{\sqrt{4-r^2}}{2}}r\,dz\,dr\,d\theta =\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\sin\theta}\frac{\sqrt{4-r^2}}{2}\,r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calcule a integral interna em r com u=4-r^2, du=-2r\,dr:
\int_{0}^{2\sin\theta}r\sqrt{4-r^2}\,dr =-\tfrac12\int_{u=4}^{4\cos^2\theta}u^{1/2}du =-\tfrac13\bigl((4\cos^2\theta)^{3/2}-4^{3/2}\bigr) =-\tfrac{8}{3}|\cos\theta|^3+\tfrac{8}{3}.
Multiplicando por \tfrac12 vem
\int_{0}^{2\sin\theta}\frac{\sqrt{4-r^2}}{2}\,r\,dr =-\tfrac{4}{3}|\cos\theta|^3+\tfrac{4}{3}.

Passo 5

Agora integre em \theta:
V=\int_{0}^{\pi}\Bigl(-\tfrac{4}{3}|\cos\theta|^3+\tfrac{4}{3}\Bigr)d\theta =-\tfrac{4}{3}\int_{0}^{\pi}|\cos\theta|^3d\theta+\tfrac{4}{3}\pi.
Como
\int_{0}^{\pi}|\cos\theta|^3d\theta =2\int_{0}^{\pi/2}\cos^3\theta\,d\theta =2\cdot\tfrac{2}{3} =\tfrac{4}{3},
resulta
V=-\tfrac{4}{3}\cdot\tfrac{4}{3}+\tfrac{4}{3}\pi =\tfrac{12\pi-16}{9}.

Resposta

\frac{12\pi-16}{9}.

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