2. Limite de Funçöes

  • Verifique que o limite abaixo não existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+2 y^{2}}
  • Calcule o limite, se existir:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{4}-4 y^{4}}{x^{2}+2 y^{2}}

Passo 1

O enunciado trata de limites de função de duas variáveis em (0,0): primeiro, mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+2y^{2}}
não existe por trajetórias distintas; segundo, calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{4}-4y^{4}}{x^{2}+2y^{2}}
usando coordenadas polares para demonstrar existência e obter o valor.

Passo 2

Para testar a inexistência do primeiro limite, tomamos a trajetória y=0. Então
\frac{x^{2}-0}{x^{2}+0}=1,
logo
\lim_{(x,0)\to(0,0)} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+2y^{2}}=1.

Passo 3

Agora tomamos a trajetória x=0. A expressão vira
\frac{0-y^{2}}{0+2y^{2}}=-\frac{1}{2},
portanto
\lim_{(0,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+2y^{2}}=-\frac{1}{2}.
Como 1\neq -\tfrac12, o limite não existe.

Passo 4

Para o segundo limite, usamos coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Substituindo,
\frac{x^{4}-4y^{4}}{x^{2}+2y^{2}} =\frac{r^{4}(\cos^{4}\theta-4\sin^{4}\theta)}{r^{2}(\cos^{2}\theta+2\sin^{2}\theta)} =r^{2}\, \frac{\cos^{4}\theta-4\sin^{4}\theta}{\cos^{2}\theta+2\sin^{2}\theta}.
O quociente em \theta é limitado, logo quando r\to0 todo o produto tende a zero.

Resposta

O primeiro limite não existe.
O segundo limite existe e vale 0.

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