Sejam f(3)=2, g(3)=3, f^{\prime}(3)=-1 e g^{\prime}(3)=5 Então \left(\frac{f}{g}\right)^{\prime}(3)= \qquad .

Passo 1

O enunciado dá as funções f e g diferenciáveis em x=3 com valores
f(3)=2,\quad g(3)=3,\quad f'(3)=-1,\quad g'(3)=5
e pede o valor de \bigl(f/g\bigr)'(3). Vamos usar a regra do quociente para derivadas.

Passo 2

A regra do quociente diz que, para funções diferenciáveis f e g,
\left(\frac{f}{g}\right)'(x) =\frac{f'(x)\,g(x)-f(x)\,g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^{2}}.

Passo 3

Substituindo x=3 na fórmula do numerador e do denominador, temos
\text{numerador} = f'(3)\,g(3) - f(3)\,g'(3) \quad\text{e}\quad \text{denominador} = \bigl(g(3)\bigr)^{2}.

Passo 4

Calculando cada parte:
f'(3)\,g(3) - f(3)\,g'(3) =(-1)\cdot 3 \;-\;2\cdot 5 =-3 -10 =-13,
\bigl(g(3)\bigr)^{2} =3^{2} =9.
Logo,
\left(\frac{f}{g}\right)'(3) =\frac{-13}{9}.

Resposta

-\tfrac{13}{9}

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