Nos limites a seguir, use a regra de LHospital:
lim x 0^+ x^22+ln (x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0^+x^22+ln(x)
usando a regra de L’Hôpital. Vamos primeiro transformar essa potência em um limite de fração, aplicando logaritmo natural.

Passo 2

Defina
y = x^22+ln(x)
Tomando logaritmo dos dois lados, obtemos
ln(y) = 22+ln(x)cdotln(x) = 2ln(x)2+ln(x)

Passo 3

Agora consideramos
limxto 0^+ln(y) = limxto0^+2ln(x)2+ln(x)
Como xto0^+ implica ln(x)to-infty, esse quociente é do tipo tfrac-infty-infty, o que permite usar a regra de L’Hôpital.

Passo 4

Aplique L’Hôpital derivando numerador e denominador em relação a x:
numerador ;2ln(x) =2cdot1x,
denominador ;2+ln(x) =1x.
Logo
limxto0^+2ln(x)2+ln(x) =limxto0^+2l(1/xr)1/x =2

Passo 5

Concluímos que
limxto0^+ln(y)=2
Como y>0, temos
limxto0^+y =expl(limxto0^+ln(y)r) =exp(2)

Resposta

e^2

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