Nos limites a seguir, use a regra de LHospital:
lim x 0^+(sen(x))^tg(x)

Passo 1

O enunciado pede
limxto0^+(sin x)^tan x,
que é uma forma indeterminada 0^0. Vamos usar a técnica de reescrever essa potência como
e^lnl((sin x)^tan xr)
e, em seguida, aplicar a regra de L’Hospital ao expoente.

Passo 2

Definimos
L = limxto0^+(sin x)^tan x Longrightarrow ln L = limxto0^+ tan x;lnl(sin xr)
Chamemos de
E = tan x;lnl(sin xr)
Logo L = e^lim E.

Passo 3

Observamos que, quando xto0^+, temos tan xto0 e ln(sin x)to -infty, de modo que E é da forma 0cdot(-infty). Para aplicar L’Hospital, reescrevemos como quociente:
E = ln(sin x)cot x,
e notamos que ln(sin x)to -infty e cot xto+infty, dando uma forma tfrac-inftyinfty.

Passo 4

Aplicamos a regra de L’Hospital ao limite de E:
diferenciando numerador e denominador,
ddxl[ln(sin x)r] = cos xsin x = cot x, ddx[cot x] = -csc^2 x = -1sin^2 x
Portanto,
limxto0^+E = limxto0^+cot x-csc^2 x = limxto0^+l(-cot x;sin^2 xr) = limxto0^+l(-cos x,sin xr) = 0

Passo 5

Assim ln L = 0, logo
L = e^0 = 1

Resposta

1

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