Nos limites a seguir, use a regra de LHospital:
lim x 0 sen(2 x) tg(x)3 x

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto0sin(2x),tan(x)3x
O conteúdo que vamos usar é a regra de L’Hospital, válida quando numerador e denominador tendem a zero (forma indeterminada 0/0).

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada:
sin(2x)xrightarrow[xto0]0, tan(x)xrightarrow[xto0]0 Longrightarrow sin(2x),tan(x)xrightarrow[xto0]0, 3xxrightarrow[xto0]0
Portanto, podemos aplicar L’Hospital.

Passo 3

Aplicamos L’Hospital, diferenciando numerador e denominador em relação a x.
Numerador = sin(2x),tan(x). Pela regra do produto:
ddxl[sin(2x),tan(x)r] = l[cos(2x)cdot2r]tan(x) ;+;sin(2x)cdotsec^2(x)
Denominador = 3x, logo
ddx[3x]=3

Passo 4

O limite original passa a ser
limxto02cos(2x),tg(x) + sen(2x),sec^2(x)3
Agora avaliamos em x=0:
tg(0)=0, sen(0)=0, cos(0)=1, sec^2(0)=1,
logo o numerador em x=0 é
2cdot1cdot0 + 0cdot1 = 0,
e o denominador é 3. Portanto o limite vale
03=0

Resposta

0

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