Nos limites a seguir, use a regra de LHospital:
lim x 0^+ sen(x) ln (x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0^+sin(x),ln(x)
usando a regra de L’Hospital. Vamos ver que tipo de indeterminação aparece e depois aplicar a técnica de derivar numerador e denominador.

Passo 2

Ao fazermos xto0^+ temos sin(x)to0 e ln(x)to-infty, ou seja, é do tipo 0cdot(-infty). Para usar L’Hospital precisamos transformar numa razão que seja tfrac-inftyinfty ou tfrac00. Podemos reescrever
sin(x),ln(x) =ln(x)1/sin(x)
Nesse quociente, quando xto0^+ o numerador ln(x)to-infty e o denominador 1/sin(x)to+infty, ficando tfrac-inftyinfty.

Passo 3

Aplicamos então a regra de L’Hospital ao quociente
ln(x)1/sin(x)
Derivando numerador e denominador:
-- Numerador:
ddx[ln(x)] = 1x
-- Denominador:
ddxl[tfrac1sin(x)r] =ddx[sin(x)^-1] =-1cdotsin(x)^-2cdotcos(x) =-cos(x)sin^2(x)
Pela regra de L’Hospital, o limite original vale
limxto0^+ln(x)1/sin(x) =limxto0^+tfrac1x-dfraccos(x)sin^2(x) =-limxto0^+sin^2(x)x,cos(x)

Passo 4

Simplificamos
-sin^2(x)x,cos(x) =-sin(x)x;sin(x)cos(x)
Quando xto0^+ vale sin(x)/xto1 e sin(x)/cos(x)=tan(x)to0. Logo
-sin(x)x;sin(x)cos(x) longrightarrow -1cdot0 = 0

Resposta

limxto0^+sin(x),ln(x)=0

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