Nos limites a seguir, use a regra de LHospital:
lim x 0^+(1-cos (x)) ln (x)

Passo 1

O enunciado pede
limxto0^+(1-cos x),ln x
e orienta usar a regra de L’Hôpital. Vamos identificar o tipo de indeterminação e reescrever o produto como quociente para aplicar L’Hôpital.

Passo 2

Para xto0^+ temos 1-cos xto0 e ln xto-infty, ou seja, forma 0cdot(-infty). Reescrevemos o produto como quociente:
(1-cos x),ln x = ln x11-cos x,
em que o numerador tende a -infty e o denominador a +infty, dando forma -infty/infty.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
derivada de ln x é 1/x,
derivada de (1-cos x)^-1 é
ddxl[(1-cos x)^-1r] = -sin x(1-cos x)^2
Logo,
limxto0^+ln x11-cos x = limxto0^+1x-sin x(1-cos x)^2 = -limxto0^+(1-cos x)^2x,sin x

Passo 4

Para avaliar
-limxto0^+(1-cos x)^2x,sin x,
usamos as aproximações ,1-cos xsim x^2/2 e sin xsim x. Então
(1-cos x)^2x,sin x sim l(x^2/2r)^2xcdot x = x^4/4x^2 = x^24,
e assim
-,limxto0^+x^24=0

Resposta

0

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