Nos limites a seguir, use a regra de LHospital:
lim x 0^-(1-cos (x))^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0^-(1-cos x)^x
usando a regra de L’Hôpital. O conteúdo aqui envolve transformar a expressão numa exponencial e aplicar L’Hôpital ao expoente em forma de indeterminação.

Passo 2

Chamemos
L = limxto0^-(1-cos x)^x
Como todo termo positivo elevado a algo, podemos escrever
L = exp!l(limxto0^- xln(1-cos x)r)
Então basta achar
A = limxto0^- xln(1-cos x)

Passo 3

Na expressão de A, temos xto0 faz xto0 e ln(1-cos x)toln0=-infty, ou seja é da forma 0cdot(-infty). Para usar L’Hôpital, reescrevemos
A = limxto0^-ln(1-cos x)1/x,
que é da forma -infty+infty.

Passo 4

Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em x:
  • Derivada de ln(1-cos x) é ddx[ln(1-cos x)] = sin x1-cos x
  • Derivada de 1/x é -1/x^2.
    Logo
A = limxto0^- sin x/(1-cos x)-1/x^2 = limxto0^-gl(-x^2;sin x1-cos xgr)

Passo 5

Agora usamos a expansão ao redor de 0 ou identidade trigonométrica. Por exemplo,
1-cos x = 2sin^2!l( x2r), sin x = 2sin!l( x2r)cos!l( x2r),
então
sin x1-cos x = 2sin(tfrac x2)cos(tfrac x2)2sin^2(tfrac x2) = cot!l(tfrac x2r) sim 2x quando xto0
Assim
A = limxto0^-l(-x^2cdottfrac2xr) = limxto0^-(-2x) = 0

Passo 6

Como A=0, voltamos a
L = exp(A) = e^0 = 1

Resposta

1

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