Nos limites a seguir, use a regra de LHospital:
lim x 0^+ x^sen(x)

Passo 1

O enunciado pede
limxto0^+x^sin(x).
O conteúdo aqui é limite de forma 0^0.
Para resolver, vamos usar transformação logarítmica e depois a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Defina f(x)=x^sin(x).
Então
ln f(x)=sin(x),ln x
O limite procurado será
limxto0^+f(x)=expl(limxto0^+ln f(x)r).
Repare que sin(x)to0 e ln xto-infty, dá indeterminação do tipo (0)(-infty).
Para usar L’Hôpital, escrevemos
ln f(x)=ln x1/sin(x)

Passo 3

Agora ln xto-infty e 1/sin(x)to+infty, temos forma -infty/infty.
Pela regra de L’Hôpital,
limxto0^+ln x1/sin(x) =limxto0^+(ln x)'(1/sin(x))'
Como
(ln x)'=1x, l(1/sin(x)r)'=-cos xsin^2(x),
segue
limxto0^+1/x-cos x/sin^2(x) =limxto0^+-sin^2(x)x,cos x

Passo 4

Para xto0 vale sen(x)sim x e cos(x)sim1, logo
-sen^2(x)x,cos xsim -x^2xcdot1=-x;xrightarrow[xto0];0
Isso mostra limxto0^+ln f(x)=0.
Portanto
limxto0^+f(x)=e^0=1

Resposta

1

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