Mostre que a integral é independente do caminho e use o Teorema 15.3.1 para determinar seu valor.
integral(-1,2)^(0,1)(3 x-y+1) d x-(x+4 y+2) d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral de linha que vai do ponto (-1, 2) até (0, 1). A integral é:
integral(-1,2)^(0,1) (3x - y + 1) , dx - (x + 4y + 2) , dy
A missão aqui é mostrar que essa integral não depende do caminho que a gente escolhe (é independente do caminho) e usar o Teorema 15.3.1 para achar o valor dela. Vamos precisar de conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a integral ser independente do caminho. Isso quer dizer que ela só depende dos pontos de início e fim, e não de como a gente vai de um ao outro. Para isso, o campo vetorial associado precisa ser conservativo, ou seja, deve existir uma função potencial cuja derivada dê esse campo.

Passo 3

Para verificar se o campo partial Ppartial y = partial (3x - y + 1)partial y = -1 é conservativo, a gente checa se as derivadas cruzadas são iguais:
partial Qpartial x = partial (-(x + 4y + 2))partial x = -1
Como , o campo é conservativo, ou seja, a integral é independente do caminho.

Passo 4

Agora que sabemos que o campo é conservativo, podemos usar o Teorema 15.3.1, que nos diz que a integral de linha é a diferença da função potencial nos pontos final e inicial. Vamos encontrar essa função potencial phi(x, y) = integral (3x - y + 1) , dx = 32x^2 - yx + x + g(y) .
Começamos integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende só de .

Passo 5

Agora, derivamos partial phipartial y = -x + g'(y) = -(x + 4y + 2) em relação a -x + g'(y) = -x - 4y - 2 implies g'(y) = -4y - 2 e igualamos a g(y) = -2y^2 - 2y + C :
phi(x, y) = 32x^2 - yx + x - 2y^2 - 2y + C
Isso dá:
Integrando em relação a :
Então, a função potencial é:

Resposta

Aplicando o Teorema 15.3.1, a integral vale a diferença da função potencial nos pontos (0,1) e (-1,2):
phi(0,1) - phi(-1,2) = (32(0)^2 - (1)(0) + 0 - 2(1)^2 - 2(1)) - (32(-1)^2 - (2)(-1) + (-1) - 2(2)^2 - 2(2))
Calculando:
phi(0,1) = 0 - 0 + 0 - 2 - 2 = -4
phi(-1,2) = 32(1) + 2 - 1 - 8 - 4 = 32 + 2 -1 -8 -4 = -152
Então:
phi(0,1) - phi(-1,2) = -4 - (-152) = -4 + 152 = 72
A integral vale .

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