Mostre que a integral é independente do caminho e use o Teorema 15.3.1 para determinar seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral de linha que vai do ponto (-1, 2) até (0, 1). A integral é:
A missão aqui é mostrar que essa integral não depende do caminho que a gente escolhe (é independente do caminho) e usar o Teorema 15.3.1 para achar o valor dela. Vamos precisar de conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a integral ser independente do caminho. Isso quer dizer que ela só depende dos pontos de início e fim, e não de como a gente vai de um ao outro. Para isso, o campo vetorial associado precisa ser conservativo, ou seja, deve existir uma função potencial cuja derivada dê esse campo.
Passo 3
Para verificar se o campo
é conservativo, a gente checa se as derivadas cruzadas são iguais:
Como
, o campo é conservativo, ou seja, a integral é independente do caminho.
Passo 4
Agora que sabemos que o campo é conservativo, podemos usar o Teorema 15.3.1, que nos diz que a integral de linha é a diferença da função potencial nos pontos final e inicial. Vamos encontrar essa função potencial
.
Começamos integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso dá:
Integrando
em relação a
:
Então, a função potencial é:
Resposta
Aplicando o Teorema 15.3.1, a integral vale a diferença da função potencial nos pontos (0,1) e (-1,2):
Calculando:
Então:
A integral vale
.