A linearização L(x) de uma função f(x) no ponto x=x_{0} pode ser realizada pela seguinte fórmula
f(x)=f\left(x_{0}\right)+\left.\left(x-x_{0}\right) \frac{d f}{d x}\right|_{x=x_{0}}
Encontre a linearização das funções a seguir no ponto x=x_{0}
f(x)=\ln x, x_{0}=1

Passo 1

O enunciado pede a linearização de f(x)=\ln x no ponto x_{0}=1. A linearização, também chamada de aproximação linear ou reta tangente, usa a fórmula
L(x)=f(x_{0}) + (x - x_{0})\,f'(x_{0})
e serve para aproximar f(x) quando x está próximo de x_{0}. Neste caso, vamos precisar calcular f(1) e f'(1).

Passo 2

Calcular f(x_{0}).
f(1)=\ln(1)=0

Passo 3

Calcular a derivada f'(x) e avaliá-la em x_{0}=1. Sabemos que
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\ln x\bigr)=\frac{1}{x},
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f'(1)=\frac{1}{1}=1.

Passo 4

Substituir f(1) e f'(1) na fórmula da linearização:
L(x)=0 + (x-1)\cdot1 = x-1.

Resposta

A linearização de f(x)=\ln x em x_{0}=1 é
L(x)=x-1.

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