A linearização L(x) de uma função f(x) no ponto x=x_{0} pode ser realizada pela seguinte fórmula
f(x)=f\left(x_{0}\right)+\left.\left(x-x_{0}\right) \frac{d f}{d x}\right|_{x=x_{0}}
Encontre a linearização das funções a seguir no ponto x=x_{0}
f(x)=\cos (x), x_{0}=\frac{\pi}{2}

Passo 1

O enunciado pede a linearização de f(x)=\cos(x) em x_{0}=\frac{\pi}{2}. Vamos usar a fórmula geral da linearização:
L(x)=f(x_{0})+\bigl(x-x_{0}\bigr)\,f'(x_{0}).
Para isso, precisamos calcular f(x_{0}) e f'(x_{0}).

Passo 2

Primeiro,
f\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.
Em seguida, derivando f(x):
f'(x)=-\sin(x),
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f'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-1.
Substituindo na fórmula de L(x):
L(x)=0+\bigl(x-\tfrac{\pi}{2}\bigr)(-1)=-(x-\tfrac{\pi}{2})=-x+\tfrac{\pi}{2}.

Resposta

L(x)=-x+\frac{\pi}{2}

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