Uma linha fina não-condutora está carregada uniformemente com uma densidade linear de carga
, constante. Com um pedaço desta linha, podemos formar um anel de raio
. O campo elétrico devido ao anel tem valor
em um ponto localizado a uma distância
acima do centro do anel, medido perpendicularmente ao plano do anel.
Explique por que o campo elétrico é nulo nos limites
e
.
Explique por que o campo elétrico é nulo nos limites
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma linha fina não-condutora carregada uniformemente com uma densidade linear de carga
. A partir dessa linha, podemos formar um anel com raio
. Queremos entender por que o campo elétrico
no ponto localizado a uma distância
acima do centro do anel é nulo quando o raio
tende a 0 e quando tende ao infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico gerado por distribuições de carga em eletrostática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a expressão para o campo elétrico no eixo de um anel de carga. O campo elétrico
no ponto a uma distância
do centro do anel é dado por:
onde
é a carga total do anel,
é a permissividade do vácuo,
é o raio do anel e
é a distância do ponto ao centro do anel.
Passo 3
Vamos analisar o caso quando
. Nesse caso, o anel está se aproximando de um ponto. A carga total
permanece constante, já que a densidade linear de carga
é constante e o comprimento do anel é
. Assim, quando
, a carga total
. Substituindo na expressão do campo elétrico:
Portanto, quando
, o campo elétrico
tende a zero.
Passo 4
Agora, vamos considerar o caso quando
. Nesse cenário, o raio do anel está muito grande em comparação com a distância
. A expressão do campo elétrico se torna:
Como
é muito grande,
se torna desprezível em relação a
, então podemos aproximar:
Sabemos que
, então substituindo:
À medida que
,
porque o denominador cresce com
, fazendo com que o campo elétrico diminua para zero.
Resposta
O campo elétrico
é nulo nos limites
e
porque, respectivamente, a carga total do anel tende a zero e a influência do campo diminui com o aumento do raio, fazendo com que
desapareça em ambos os casos.