Uma linha fina não-condutora está carregada uniformemente com uma densidade linear de carga lambda, constante. Com um pedaço desta linha, podemos formar um anel de raio r. O campo elétrico devido ao anel tem valor E em um ponto localizado a uma distância z acima do centro do anel, medido perpendicularmente ao plano do anel.
Explique por que o campo elétrico é nulo nos limites r 0 e r infty.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma linha fina não-condutora carregada uniformemente com uma densidade linear de carga lambda. A partir dessa linha, podemos formar um anel com raio r. Queremos entender por que o campo elétrico E no ponto localizado a uma distância z acima do centro do anel é nulo quando o raio r tende a 0 e quando tende ao infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico gerado por distribuições de carga em eletrostática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a expressão para o campo elétrico no eixo de um anel de carga. O campo elétrico E no ponto a uma distância z do centro do anel é dado por:
E = 14piepsilon0 cdot z cdot Q(z^2 + r^2)^3/2
onde Q é a carga total do anel, epsilon0 é a permissividade do vácuo, r é o raio do anel e z é a distância do ponto ao centro do anel.

Passo 3

Vamos analisar o caso quando r 0. Nesse caso, o anel está se aproximando de um ponto. A carga total Q permanece constante, já que a densidade linear de carga lambda é constante e o comprimento do anel é 2pi r. Assim, quando r 0, a carga total Q = lambda cdot 2pi r 0. Substituindo na expressão do campo elétrico:
E = 14piepsilon0 cdot z cdot 0(z^2 + 0)^3/2 = 0
Portanto, quando r 0, o campo elétrico E tende a zero.

Passo 4

Agora, vamos considerar o caso quando r infty. Nesse cenário, o raio do anel está muito grande em comparação com a distância z. A expressão do campo elétrico se torna:
E = 14piepsilon0 cdot z cdot Q(z^2 + r^2)^3/2
Como r é muito grande, z^2 se torna desprezível em relação a r^2, então podemos aproximar:
E approx 14piepsilon0 cdot z cdot Qr^3
Sabemos que Q = lambda cdot 2pi r, então substituindo:
E approx 14piepsilon0 cdot z cdot lambda cdot 2pi rr^3 = lambda z2epsilon0 r^2
À medida que r infty, E 0 porque o denominador cresce com r^2, fazendo com que o campo elétrico diminua para zero.

Resposta

O campo elétrico E é nulo nos limites r 0 e r infty porque, respectivamente, a carga total do anel tende a zero e a influência do campo diminui com o aumento do raio, fazendo com que E desapareça em ambos os casos.

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