A posição angular de um ponto da borda de uma roda é dada por alpha(t)=4 t-3 t^2+t^3, onde alpha está em radianos e tem segundos. Qual é a aceleração angular instantânea no início deste intervalo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre posição angular de um ponto na borda de uma roda, que é uma parte da cinemática rotacional na física. A nossa missão aqui é descobrir qual é a aceleração angular instantânea no começo do movimento. Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar como a posição angular muda com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que nos foi dada:
alpha(t) = 4t - 3t^2 + t^3
Aqui, alpha(t) representa a posição angular em radianos, e t é o tempo em segundos. Para encontrar a aceleração angular, precisamos primeiro achar a velocidade angular, que é a primeira derivada de alpha(t) em relação ao tempo.
Então, vamos derivar alpha(t):
dalphadt = ddt(4t) - ddt(3t^2) + ddt(t^3)
Calculando cada termo:
ddt(4t) = 4
ddt(3t^2) = 6t
ddt(t^3) = 3t^2
Então, a velocidade angular é:
dalphadt = 4 - 6t + 3t^2

Passo 3

Agora que temos a velocidade angular, vamos encontrar a aceleração angular, que é a segunda derivada de alpha(t) ou a primeira derivada da velocidade angular. Vamos derivar dalphadt:
d^2alphadt^2 = ddt(4) - ddt(6t) + ddt(3t^2)
Calculando cada termo:
ddt(4) = 0
ddt(6t) = 6
ddt(3t^2) = 6t
Então, a aceleração angular é:
d^2alphadt^2 = 0 - 6 + 6t = -6 + 6t

Passo 4

Agora, queremos saber a aceleração angular no início do intervalo, ou seja, quando t = 0. Vamos substituir t = 0 na expressão que encontramos para a aceleração angular:
d^2alphadt^2g|t=0 = -6 + 6(0) = -6

Resposta

A aceleração angular instantânea no início do intervalo é -6 rad/s^2.

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