A posição angular de um ponto da borda de uma roda é dada por , onde está em radianos e tem segundos. Qual é a aceleração angular instantânea no início deste intervalo?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre posição angular de um ponto na borda de uma roda, que é uma parte da cinemática rotacional na física. A nossa missão aqui é descobrir qual é a aceleração angular instantânea no começo do movimento. Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar como a posição angular muda com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que nos foi dada:
Aqui, representa a posição angular em radianos, e é o tempo em segundos. Para encontrar a aceleração angular, precisamos primeiro achar a velocidade angular, que é a primeira derivada de em relação ao tempo.
Então, vamos derivar :
Calculando cada termo:
Então, a velocidade angular é:
Passo 3
Agora que temos a velocidade angular, vamos encontrar a aceleração angular, que é a segunda derivada de ou a primeira derivada da velocidade angular. Vamos derivar :
Calculando cada termo:
Então, a aceleração angular é:
Passo 4
Agora, queremos saber a aceleração angular no início do intervalo, ou seja, quando . Vamos substituir na expressão que encontramos para a aceleração angular:
Resposta
A aceleração angular instantânea no início do intervalo é -6 rad/s^2.